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Calculadora de teoría de colas M/M/1: tiempo de espera, utilización y longitud de la cola

Q: ¿Por qué la calculadora exige que ρ sea menor que 1?

Cuando las llegadas igualan o superan la tasa de servicio (ρ ≥ 1), un solo servidor no alcanza y la cola crece sin límite: las fórmulas de régimen estable dividen entre (1 − ρ), que vale cero o es negativo. Necesitas más capacidad o menos llegadas.

Q: ¿Qué significan las letras de M/M/1?

Es la notación de Kendall: la primera M indica llegadas markovianas (Poisson), la segunda M tiempos de servicio exponenciales y el 1 un solo servidor. Es el modelo de colas útil más sencillo.

Q: ¿Cuándo no conviene usar M/M/1?

Cuando tienes varios servidores (usa M/M/c), cuando el tiempo de servicio es casi constante en lugar de aleatorio (en M/D/1 la espera en cola es más o menos la mitad) o cuando las llegadas vienen en ráfagas y no siguen un proceso de Poisson. Tómalo como una primera aproximación.

Resuelve una cola M/M/1 de un solo servidor: utilización, tiempo promedio de espera y número promedio en la cola a partir de la tasa de llegada y la de servicio.

Tasa de llegada (λ)

Tasa de servicio (μ)

Cargando calculadora…

Cómo funciona

ρ = λ ÷ μ · W = 1 ÷ (μ − λ) · Wq = ρ ÷ (μ − λ) · L = ρ ÷ (1 − ρ) · Lq = ρ² ÷ (1 − ρ) (se requiere ρ < 1)

El modelo M/M/1 de la teoría de colas describe un solo servidor con llegadas aleatorias (Poisson) y tiempos de servicio exponenciales. Su rasgo clave es que la espera se dispara de forma no lineal cuando la utilización se acerca al 100%: el (1 − ρ) del denominador hace que pasar de 80% a 90% de ocupación duplique más o menos la cola, y a 95% ya es castigador. Por eso la planeación de capacidad apunta a una utilización moderada en lugar de exprimir hasta el último punto porcentual del servidor.

Ejemplo resuelto

A una API llegan λ = 8 solicitudes por minuto y el servidor atiende μ = 10 por minuto, así que ρ = 0.8. El tiempo en el sistema es W = 1 ÷ (10 − 8) = 0.5 min (30 s); la espera en la cola, Wq = 0.8 ÷ 2 = 0.4 min (24 s); y el número promedio en el sistema, L = 0.8 ÷ 0.2 = 4, con Lq = 0.64 ÷ 0.2 = 3.2 en la cola.

Fuentes: Wikipedia — M/M/1 queue

Preguntas frecuentes

¿Por qué la calculadora exige que ρ sea menor que 1?

Cuando las llegadas igualan o superan la tasa de servicio (ρ ≥ 1), un solo servidor no alcanza y la cola crece sin límite: las fórmulas de régimen estable dividen entre (1 − ρ), que vale cero o es negativo. Necesitas más capacidad o menos llegadas.

¿Qué significan las letras de M/M/1?

Es la notación de Kendall: la primera M indica llegadas markovianas (Poisson), la segunda M tiempos de servicio exponenciales y el 1 un solo servidor. Es el modelo de colas útil más sencillo.

¿Cuándo no conviene usar M/M/1?

Cuando tienes varios servidores (usa M/M/c), cuando el tiempo de servicio es casi constante en lugar de aleatorio (en M/D/1 la espera en cola es más o menos la mitad) o cuando las llegadas vienen en ráfagas y no siguen un proceso de Poisson. Tómalo como una primera aproximación.

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