Calculadora de la función de producción Cobb-Douglas: producción, productos marginales y rendimientos a escala

Cómo funciona

Y = A × K^α × L^β · PMgL = ∂Y/∂L = β × Y ÷ L · PMgK = ∂Y/∂K = α × Y ÷ K · TMST = PMgL ÷ PMgK = (β/α) × (K/L) · rendimientos a escala: α + β (= 1 constantes, > 1 crecientes, < 1 decrecientes) · despejes: A = Y ÷ (K^α L^β), K = (Y ÷ (A L^β))^(1/α), L = (Y ÷ (A K^α))^(1/β) · razón K/L de costo mínimo = (α/β) × (w/r)

La función de producción Cobb-Douglas expresa la producción como la productividad total de los factores A multiplicada por el capital K y el trabajo L, cada uno elevado a una potencia. Los exponentes α y β son elasticidades de la producción: si el capital sube 1%, la producción sube cerca de α%, y si el trabajo sube 1%, sube cerca de β%. Su suma indica los rendimientos a escala: duplicar ambos insumos multiplica la producción por 2^(α+β), así que con α + β = 1 la producción se duplica exactamente (rendimientos constantes). Escribe A, K, L y las dos elasticidades para obtener la producción, o usa los botones de Despejar para obtener la productividad, o el capital o el trabajo necesarios para una producción objetivo. Verás los productos marginales (la producción extra de una unidad más de cada insumo, que va bajando conforme agregas más), los productos medios y la tasa marginal de sustitución técnica (TMST), además de tablas para escalar ambos insumos y para agregar solo trabajo (rendimientos decrecientes) y una gráfica de la isocuanta con todas las combinaciones de K y L que dan la misma producción. En Más opciones puedes poner un salario y un costo de renta del capital para obtener el costo total y la combinación de insumos de costo mínimo. Algunos libros intercambian las letras y ponen α en el trabajo; aquí α siempre corresponde al capital y β al trabajo. Puedes usar cualquier unidad si eres consistente; A no tiene significado por sí sola, depende de cómo midas Y, K y L. El modelo supone una elasticidad de sustitución constante igual a 1 entre capital y trabajo.

Ejemplo resuelto

Una planta tiene productividad A = 1.5, usa K = 200 unidades de capital y L = 100 unidades de trabajo, con α = 0.3 y β = 0.7. La producción es Y = 1.5 × 200^0.3 × 100^0.7 = 1.5 × 4.901 × 25.119 = 184.67 unidades. El producto marginal del trabajo es 0.7 × 184.67 ÷ 100 = 1.293 y el del capital 0.3 × 184.67 ÷ 200 = 0.277, así que la TMST = 1.293 ÷ 0.277 = 4.667 unidades de capital por unidad de trabajo. Como α + β = 1, los rendimientos a escala son constantes: al duplicar ambos insumos la producción se duplica a 369.34.

Fuentes: Omni Calculator: Cobb-Douglas production function (glass-ball examples, returns to scale) · Wikipedia: Cobb–Douglas production function (elasticities, returns to scale, factor shares)

Preguntas frecuentes