Calculadora Black-Scholes: precio de opciones call y put europeas
Valora una opción call o put europea con el modelo de Black-Scholes-Merton a partir del subyacente, strike, plazo, tasa, volatilidad y dividendo, con delta, d₁ y d₂.
Cómo funciona
d₁ = (ln(S ÷ K) + (r − q + σ² ÷ 2)·T) ÷ (σ·√T) · d₂ = d₁ − σ·√T · Call = S·e^(−qT)·Φ(d₁) − K·e^(−rT)·Φ(d₂) · Put = K·e^(−rT)·Φ(−d₂) − S·e^(−qT)·Φ(−d₁) · Φ = función de distribución normal estándar
El modelo de Black-Scholes-Merton da un valor justo, con fórmula cerrada, para una opción europea (la que solo se puede ejercer al vencimiento) a partir de seis datos: precio del subyacente, precio de ejercicio o strike, tiempo al vencimiento, tasa libre de riesgo, volatilidad y rendimiento por dividendo. Los términos intermedios d₁ y d₂ miden, en desviaciones estándar, qué tan dentro del dinero se espera que termine la opción, y Φ los convierte en probabilidades bajo la medida neutral al riesgo. La volatilidad es el único dato que el mercado no muestra directamente y al que el precio es más sensible: a mayor volatilidad, más valen tanto las call como las put. La delta, la derivada del precio respecto al subyacente, indica cuántas acciones cubren una opción y aproxima cuánto cambia su precio ante un movimiento pequeño.
Ejemplo resuelto
Para una call con S = $100, K = $105, T = 0.5 años, r = 5%, σ = 20% y sin dividendos: σ√T = 0.2 × 0.7071 = 0.1414; d₁ = (ln(100 ÷ 105) + (0.05 + 0.02) × 0.5) ÷ 0.1414 = −0.0975, y d₂ = −0.0975 − 0.1414 = −0.2389. Con Φ(d₁) = 0.4612 y Φ(d₂) = 0.4056, la call vale 100 × 0.4612 − 105 × e^(−0.025) × 0.4056 ≈ $4.58, con una delta de 0.4612. La put equivalente vale unos $6.99.
Fuentes: Black–Scholes model — Wikipedia
Preguntas frecuentes
¿Black-Scholes sirve para opciones americanas?
No exactamente. El modelo valora opciones europeas, que solo se ejercen al vencimiento. Las americanas, que se pueden ejercer en cualquier momento, valen al menos lo mismo y suelen calcularse con árboles binomiales o métodos numéricos. Para acciones que no pagan dividendos, una call americana vale igual que una europea, así que ahí el modelo sí aplica.
¿Qué es la delta de una opción y para qué sirve?
Es cuánto cambia el precio de la opción por cada $1 que se mueve el subyacente: una delta de 0.46 significa que la call gana unos $0.46 si la acción sube $1. También es la razón de cobertura: vender 0.46 acciones por cada call neutraliza movimientos pequeños. La delta de una call va de 0 a 1 y la de una put, de −1 a 0.
¿Qué dato influye más en el precio?
La volatilidad. A diferencia del precio, el strike, la tasa y el plazo, no aparece en ninguna pantalla y hay que estimarla, y el valor de la opción es muy sensible a ella. En la práctica, los operadores suelen usar el modelo al revés: meten el precio de mercado para despejar la volatilidad implícita.
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