Distribución beta a posteriori: media, moda e intervalo creíble bayesiano
Actualiza una distribución beta a priori con tus éxitos y fracasos y obtén la media, la moda, la desviación y el intervalo creíble a posteriori de una proporción.
Cómo funciona
A posteriori = Beta(α + éxitos, β + fracasos) · Media = α′ ÷ (α′ + β′) · Moda = (α′ − 1) ÷ (α′ + β′ − 2) · Intervalo ≈ media ± 1.96 × desviación
La distribución beta es la conjugada de una proporción binomial, así que la actualización bayesiana se reduce a sumar: los éxitos observados se añaden a α y los fracasos a β. La media a posteriori, α′ ÷ (α′ + β′), mezcla lo que creías antes con los datos. Con la beta(1, 1) uniforme queda (éxitos + 1) ÷ (total + 2), la regla de sucesión de Laplace, que acerca al 50% las tasas extremas cuando hay pocos datos. El intervalo creíble se aproxima como la media ± 1.96 desviaciones estándar, recortado entre 0% y 100%.
Ejemplo resuelto
Valeria lanza una moneda con una beta(1, 1) uniforme como punto de partida y obtiene 7 caras y 3 cruces. La distribución a posteriori es beta(8, 4): media = 8 ÷ 12 = 66.67% y moda = 7 ÷ 10 = 70.00%. La desviación estándar es 13.07%, así que el intervalo creíble aproximado del 95% va de 41.04% a 92.29%. La media es más prudente que el 70% observado porque la distribución a priori todavía pesa.
Fuentes: Beta distribution — Wikipedia · Conjugate prior — Wikipedia
Preguntas frecuentes
¿Por qué usar la media a posteriori en vez de la tasa de éxito observada?
La tasa observada reacciona de más con muestras pequeñas: 1 cara en 1 lanzamiento se lee como 100%. La media a posteriori incorpora una creencia previa, y con la distribución uniforme ese 1/1 se convierte en 2/3 (66.7%), una estimación mucho más sensata hasta tener más datos.
¿Qué distribución a priori debo elegir?
Beta(1, 1) es uniforme y no supone nada. Beta(2, 2) favorece un poco el 50%, útil para una moneda que crees justa. Para reflejar una creencia previa de un r% de éxito, elige α y β con α ÷ (α + β) ≈ r y usa valores más grandes cuanto más firme sea esa creencia.
¿El intervalo creíble es lo mismo que un intervalo de confianza?
No. El intervalo creíble es una afirmación de probabilidad directa: hay cerca de un 95% de probabilidad de que la tasa real esté dentro, dados la distribución a priori y los datos. El intervalo de confianza frecuentista habla de la cobertura del método a largo plazo.
¿Por qué a veces la moda sale como guion?
La moda de una beta solo está definida cuando α′ y β′ son mayores que 1; si alguno es 1 o menor, la densidad es máxima en un extremo y la calculadora muestra un guion.
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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.