Ley de Benford: comprueba si tus datos siguen la distribución del primer dígito
Compara tus números con la ley de Benford del primer dígito: frecuencias observadas y esperadas, prueba chi cuadrada y desviación absoluta media con los rangos de Nigrini.
Cómo funciona
P(primer dígito = d) = log₁₀(1 + 1/d) · MAD = (1/9) × Σ |% observado − % esperado| · χ² = Σ (O − E)² ÷ E con 8 grados de libertad
Muchos conjuntos de datos del mundo real, como importes de facturas, poblaciones de ciudades o precios de acciones, tienen primeros dígitos que siguen la distribución logarítmica de la ley de Benford: el 1 aparece cerca del 30% de las veces y el 9, menos del 5%. La cumplen los números que abarcan varios órdenes de magnitud y no tienen límites artificiales; no la cumplen los números asignados (teléfonos, folios, identificaciones) ni los precios redondeados. Los auditores usan la desviación para detectar cifras inventadas. Con muestras grandes, los rangos de la MAD de Nigrini (0.006, 0.012 y 0.015) son más útiles que la chi cuadrada, que marca como significativa cualquier diferencia mínima.
Ejemplo resuelto
Una auditora analiza 30 importes de facturas (los que vienen de ejemplo en la calculadora). Diez empiezan con 1 (33.3% frente al 30.1% esperado) y ocho con 2 (26.7% frente a 17.6%). La MAD es 0.0338, por encima de 0.015, así que el resultado es «no conformidad»; sin embargo, la chi cuadrada vale 4.81 con p = 0.7776, que no rechaza la ley. Con tan pocos datos conviene no sacar conclusiones: lo ideal son cientos o miles de valores.
Preguntas frecuentes
¿Qué datos cumplen la ley de Benford?
Los que crecen de forma natural y abarcan varios órdenes de magnitud: montos de transacciones, poblaciones, superficies de países, datos contables. No la cumplen los números asignados, como teléfonos o códigos postales, ni los que tienen un mínimo y un máximo estrechos, como la estatura de las personas.
¿Sirve la ley de Benford para detectar fraudes?
Sirve como señal de alerta, no como prueba. Una desviación fuerte indica que conviene revisar esos datos con más detalle, pero puede tener explicaciones legítimas, como precios redondeados o límites de autorización.
¿Por qué la MAD y la chi cuadrada pueden no coincidir?
La chi cuadrada depende mucho del tamaño de la muestra: con pocos datos casi nunca rechaza y con muchos lo rechaza todo. La MAD de Nigrini mide la magnitud de la desviación sin depender tanto de n, por eso se prefiere en auditoría.
¿Qué probabilidad tiene cada primer dígito según Benford?
Del 1 al 9: 30.1%, 17.6%, 12.5%, 9.7%, 7.9%, 6.7%, 5.8%, 5.1% y 4.6%. Se obtienen con log₁₀(1 + 1/d).
Calculadoras relacionadas
Con fines educativos: revisa los supuestos (tamaño de muestra, distribución) antes de usar estadísticas para tomar decisiones reales.