Calculadora de producto punto y producto cruz de vectores
Calcula el producto punto (escalar) y el producto cruz (vectorial) de dos vectores en 3D, el ángulo entre ellos y el área del paralelogramo que forman.
Cómo funciona
a · b = aₓbₓ + a_yb_y + a_zb_z · a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zbₓ − aₓb_z, aₓb_y − a_ybₓ) · θ = arccos((a · b) ÷ (|a| × |b|))
El producto punto, también llamado producto escalar, multiplica las componentes correspondientes y las suma: el resultado es un solo número, máximo cuando los vectores apuntan en la misma dirección y cero cuando son perpendiculares. El producto cruz, o producto vectorial, da un vector nuevo perpendicular a los dos originales, cuya magnitud es igual al área del paralelogramo que forman. Con ambos sabes qué tan alineados están dos vectores y cuánto «abren» entre sí; a partir del producto punto también se despeja el ángulo que forman.
Ejemplo resuelto
Con a = (1, 2, 3) y b = (4, −5, 6), el producto punto es 1 × 4 + 2 × (−5) + 3 × 6 = 4 − 10 + 18 = 12. El producto cruz es (2 × 6 − 3 × (−5), 3 × 4 − 1 × 6, 1 × (−5) − 2 × 4) = (27, 6, −13), cuya magnitud √(27² + 6² + 13²) = √934 ≈ 30.56 es el área del paralelogramo. Como |a| = √14 y |b| = √77, el ángulo es arccos(12 ÷ √1,078) ≈ 68.56°.
Fuentes: Dot product — Wikipedia · Cross product — Wikipedia
Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre el producto punto y el producto cruz?
El producto punto da un escalar (un número) y mide qué tan paralelos son dos vectores. El producto cruz da un vector perpendicular a ambos y mide el área que abarcan. El producto punto existe en cualquier dimensión; el producto cruz habitual solo está definido en tres dimensiones.
¿Qué significa que el producto punto sea cero?
Que los vectores son perpendiculares (forman 90°), siempre que ninguno sea el vector cero. Es la forma más rápida de comprobar la ortogonalidad y se usa mucho en física, gráficos por computadora y aprendizaje automático.
¿Hacia dónde apunta el producto cruz?
Es perpendicular al plano que contiene a los dos vectores y su sentido lo da la regla de la mano derecha: si curvas los dedos de a hacia b, el pulgar apunta en la dirección de a × b. Si inviertes el orden (b × a), el sentido se invierte.
¿Cómo se calcula el ángulo entre dos vectores?
Divide el producto punto entre el producto de las magnitudes y saca el arcocoseno: θ = arccos((a · b) ÷ (|a| × |b|)). Si el producto punto es negativo, el ángulo es mayor de 90°.
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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.