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Calculadora del principio del palomar: ¿cuántos objetos caen como mínimo en una caja?

Aplica el principio del palomar: calcula el mínimo garantizado ⌈n/k⌉ en la caja más llena y cuántos objetos hacen falta para asegurar m objetos en una misma caja.

Objetos (palomas) n

Cajas (casillas) k

Cantidad objetivo m por caja

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Cómo funciona

caja más llena ≥ ⌈n ÷ k⌉ · para asegurar m objetos en una caja se necesitan k × (m − 1) + 1 objetos

El principio del palomar (o de las casillas, de Dirichlet) dice que si repartes n objetos en k cajas, al menos una caja tendrá ⌈n/k⌉ objetos o más: no hay forma de repartirlos tan parejo que todas queden por debajo de ese techo. Visto al revés, para asegurar que alguna caja llegue a m objetos necesitas k × (m − 1) + 1, porque con k × (m − 1) podrías tener todas las cajas justo un objeto por debajo de la meta, y el siguiente objeto rompe el empate. Con esta idea tan simple se prueban resultados sorprendentes, como que en cualquier grupo grande hay dos personas que cumplen años el mismo mes.

Ejemplo resuelto

Si metes 10 pelotas en 3 cajas, ⌈10/3⌉ = 4, así que alguna caja tendrá por lo menos 4. Para asegurar 3 pelotas en una misma caja necesitas 3 × (3 − 1) + 1 = 7 pelotas; con 10 ya está garantizado. El reparto parejo sería de 3.33 por caja.

Fuentes: Pigeonhole principle — Wikipedia

Preguntas frecuentes

¿Qué hace la función techo en esta fórmula?

Redondea n/k hacia arriba al siguiente entero, porque las cajas guardan objetos enteros. Con 10 objetos en 3 cajas, 10/3 ≈ 3.33 se redondea a 4 garantizados en la más llena.

¿Por qué k × (m − 1) + 1 para asegurar m objetos?

Puedes poner m − 1 objetos en cada una de las k cajas, o sea, k × (m − 1) objetos, sin que ninguna llegue a m. El siguiente objeto obliga a que alguna caja alcance m.

¿Cuál es un ejemplo clásico del principio del palomar?

En cualquier grupo de 13 personas, al menos dos cumplen años el mismo mes: 13 palomas y 12 meses, así que ⌈13/12⌉ = 2 obliga a que un mes se repita.

¿Cuántos calcetines tengo que sacar para asegurar un par del mismo color?

Si hay calcetines de 3 colores, basta con sacar 3 × (2 − 1) + 1 = 4: con 4 calcetines y 3 colores, dos por fuerza coinciden.

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