Calculadora de coeficiente binomial: n sobre k
Calcula el coeficiente binomial C(n, k), o «n sobre k»: el número de formas de elegir k elementos de n sin importar el orden, junto con las permutaciones P(n, k).
Cómo funciona
C(n, k) = n! ÷ [k! × (n − k)!]
El coeficiente binomial, que se lee «n sobre k» o «combinaciones de n en k», cuenta selecciones sin orden: comités, boletos de lotería o manos de póker, donde elegir A y luego B es lo mismo que elegir B y luego A. Es igual al número de permutaciones P(n, k) dividido entre k!, para cancelar los órdenes posibles del grupo elegido. Es también el número que aparece en el triángulo de Pascal y en el binomio de Newton. La simetría C(n, k) = C(n, n − k) refleja que elegir qué k entran es lo mismo que elegir qué n − k se quedan fuera.
Ejemplo resuelto
En una nevería hay 10 sabores y Sofía quiere un cono de 3 sabores distintos. C(10, 3) = 10! ÷ (3! × 7!) = (10 × 9 × 8) ÷ (3 × 2 × 1) = 720 ÷ 6 = 120 combinaciones. Si el orden de las bolas importara, serían 720 permutaciones.
Fuentes: Binomial coefficient — Wikipedia
Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre combinación y permutación?
La combinación no toma en cuenta el orden, C(n, k); la permutación sí, P(n, k) = C(n, k) × k!. Elegir 3 de 10 da 120 combinaciones pero 720 permutaciones.
¿Por qué C(n, k) es igual a C(n, n − k)?
Cada forma de escoger los k elementos que te quedas corresponde a una sola forma de escoger los n − k que dejas fuera, así que los dos conteos siempre coinciden.
¿Cuánto valen C(n, 0) y C(n, n)?
Los dos valen 1: hay una sola forma de no elegir nada y una sola forma de elegirlo todo.
¿Qué tiene que ver con el binomio de Newton?
Los coeficientes del desarrollo de (a + b)ⁿ son justamente C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n). Por ejemplo, (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, y 1, 3, 3, 1 son C(3, k).
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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.