Calculadora de coeficiente multinomial: permutaciones con elementos repetidos
Calcula el coeficiente multinomial n! ÷ (k₁! k₂! …): las ordenaciones distintas cuando hay elementos repetidos, como los anagramas de una palabra con letras iguales.
Cómo funciona
C(n; k₁, k₂, …, kₘ) = n! ÷ (k₁! × k₂! × … × kₘ!) · n = k₁ + k₂ + … + kₘ
El coeficiente multinomial cuenta las ordenaciones distintas de n elementos cuando dentro de cada grupo los elementos son idénticos; en muchos libros de secundaria y bachillerato se le llama «permutaciones con repetición». Generaliza el «n sobre k» de dos grupos a cualquier número de grupos. Se divide n! entre el factorial de cada grupo para quitar los acomodos que solo intercambian elementos iguales. Es la fórmula para los anagramas de una palabra con letras repetidas y para repartir n objetos en cajas etiquetadas con tamaños fijos.
Ejemplo resuelto
Un maestro reparte 10 alumnos en tres equipos con tareas distintas, de 2, 3 y 5 integrantes. Las formas de hacerlo son 10! ÷ (2! × 3! × 5!) = 3,628,800 ÷ 1,440 = 2,520. Con la palabra MATEMATICAS (11 letras: M2, A3, T2, E1, I1, C1, S1) salen 11! ÷ (2! × 3! × 2!) = 39,916,800 ÷ 24 = 1,663,200 anagramas.
Fuentes: Multinomial theorem — Wikipedia
Preguntas frecuentes
¿Qué relación tiene con el coeficiente binomial?
Con solo dos grupos, C(n; k, n − k) es exactamente el coeficiente binomial C(n, k). El multinomial lo extiende a tres o más grupos.
¿Qué representan los tamaños de los grupos?
La cantidad de elementos idénticos de cada categoría: en una palabra, cuántas veces se repite cada letra; en cajas, cuántos objetos van en cada una. Deben sumar n.
¿Por qué se divide entre el factorial de cada grupo?
Porque reacomodar elementos idénticos dentro de un grupo no produce un orden nuevo. Dividir entre kᵢ! de cada grupo elimina esos acomodos indistinguibles.
¿Cuántos anagramas tiene la palabra PAPAYA?
Tiene 6 letras con P2, A3 y Y1, así que 6! ÷ (2! × 3! × 1!) = 720 ÷ 12 = 60 anagramas.
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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.