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Calculadora de la ecuación del plano que pasa por 3 puntos

Halla la ecuación ax + by + cz = d del plano que pasa por tres puntos del espacio: vectores PQ y PR, vector normal con su producto vectorial, cortes con los ejes y distancia al origen.

P: x

P: y

P: z

Q: x

Q: y

Q: z

R: x

R: y

R: z

Cargando calculadora…

Cómo funciona

n = PQ × PR = (a, b, c) · a(x − x₁) + b(y − y₁) + c(z − z₁) = 0 ⇔ ax + by + cz = d, con d = a·x₁ + b·y₁ + c·z₁ · distancia al origen = |d| / √(a² + b² + c²)

Dos vectores contenidos en el plano —PQ y PR— tienen un producto vectorial perpendicular a ambos, que es el vector normal del plano (a, b, c). Cualquier punto X del plano cumple n · (X − P) = 0, que al desarrollarse da la ecuación general ax + by + cz = d. El resultado se simplifica a los menores coeficientes enteros. Si el producto vectorial es el vector cero, los puntos están alineados y por ellos pasan infinitos planos.

Ejemplo resuelto

P(1, 2, −1), Q(2, 3, 1), R(3, −1, 2): PQ = (1, 1, 2) y PR = (2, −3, 3), así que n = PQ × PR = (1·3 − 2·(−3), 2·2 − 1·3, 1·(−3) − 1·2) = (9, 1, −5). Entonces d = 9·1 + 1·2 − 5·(−1) = 16 y el plano es 9x + y − 5z = 16. Comprobación con R: 27 − 1 − 10 = 16.

Fuentes: OpenStax Calculus Volume 3 — 2.5 Equations of Lines and Planes in Space · Paul’s Online Math Notes — Equations of Planes

Preguntas frecuentes

¿Cómo se halla la ecuación de un plano con tres puntos?

Forma dos vectores desde uno de los puntos hacia los otros dos, calcula su producto vectorial para obtener el vector normal (a, b, c) y sustituye un punto en ax + by + cz = d para hallar d.

¿Qué es el vector normal de un plano?

Un vector perpendicular a todas las direcciones del plano. En ax + by + cz = d es simplemente (a, b, c).

¿Qué pasa si los tres puntos están alineados?

PQ y PR son paralelos, su producto vectorial es (0, 0, 0) y los puntos no determinan un plano único.

¿Cómo calculo la distancia de un punto al plano?

Para un punto (x₀, y₀, z₀): |ax₀ + by₀ + cz₀ − d| / √(a² + b² + c²). La calculadora la muestra para el origen.

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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.