Calculadora de la función phi de Euler φ(n) (indicatriz de Euler)
Calcula la función phi de Euler φ(n), la cantidad de enteros del 1 al n que son coprimos con n, con la factorización en primos y la fórmula del producto, y la lista de coprimos para n pequeños.
Cómo funciona
φ(n) = n · ∏ (1 − 1/p) sobre los primos distintos p que dividen a n · φ(pᵏ) = pᵏ⁻¹(p − 1) · φ es multiplicativa: φ(ab) = φ(a)φ(b) si mcd(a, b) = 1 · φ(p) = p − 1 para p primo
La función phi de Euler (o indicatriz de Euler) φ(n) cuenta los enteros del 1 al n que no comparten ningún factor común con n aparte del 1. Como φ es multiplicativa, se calcula a partir de la factorización en primos: cada primo distinto p elimina la fracción 1/p de los números. La calculadora factoriza n por división de prueba (rápido hasta 10¹²), aplica la fórmula del producto y lista los coprimos cuando n ≤ 200. φ(n) es el orden del grupo multiplicativo módulo n y es la base del teorema de Euler a^φ(n) ≡ 1 (mod n) y de la generación de claves RSA (Wolfram MathWorld, Totient Function).
Ejemplo resuelto
n = 36 = 2² × 3². φ(36) = 36 × (1 − 1/2) × (1 − 1/3) = 36 × 1/2 × 2/3 = 12. Comprobación con potencias de primos: φ(4) × φ(9) = 2 × 6 = 12. Los 12 números coprimos son 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31 y 35.
Fuentes: Wolfram MathWorld — Totient Function · OEIS A000010 — Euler totient function
Preguntas frecuentes
¿Qué es la función phi de Euler?
φ(n) es la cantidad de enteros positivos hasta n que son primos relativos con n (su mcd con n es 1). Por ejemplo, φ(9) = 6 porque 1, 2, 4, 5, 7 y 8 son coprimos con 9.
¿Cómo se calcula φ(n) rápido?
Factoriza n en primos y usa φ(n) = n × ∏(1 − 1/p) sobre los primos distintos. Para 100 = 2² × 5², φ(100) = 100 × 1/2 × 4/5 = 40.
¿Cuánto vale φ de un número primo?
p − 1, porque todos los números del 1 al p − 1 son coprimos con un primo p. Y al revés, φ(n) = n − 1 solo cuando n es primo.
¿Para qué se usa la función phi?
En el teorema de Euler a^φ(n) ≡ 1 (mod n) cuando mcd(a, n) = 1, para reducir exponentes enormes módulo n, y en RSA, donde la clave privada es el inverso de e módulo φ(pq) = (p − 1)(q − 1).
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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.