Calculadora de inverso modular
Calcula el inverso multiplicativo modular de a módulo m con el algoritmo de Euclides extendido: cada división, la identidad de Bézout, la comprobación y cuándo no existe inverso.
Cómo funciona
a·x ≡ 1 (mod m) tiene solución si y solo si mcd(a, m) = 1 · Euclides extendido halla s, t con m·s + a·t = 1, así que a⁻¹ ≡ t (mod m)
El inverso modular de a módulo m es el número x entre 0 y m − 1 tal que a·x ≡ 1 (mod m). Existe exactamente cuando a y m no tienen factores comunes. El algoritmo de Euclides extendido ejecuta el algoritmo de Euclides para mcd(m, a) llevando la cuenta de los coeficientes, y termina con la identidad de Bézout m·s + a·t = 1; al reducir t módulo m se obtiene el inverso. Es la base de la generación de claves RSA y de la resolución de congruencias lineales.
Ejemplo resuelto
Para 3 mod 11: 11 = 3 × 3 + 2, 3 = 1 × 2 + 1, 2 = 2 × 1 + 0. Sustituyendo hacia atrás se obtiene 11·(−1) + 3·4 = 1, así que el inverso es 4. Comprobación: 3 × 4 = 12 ≡ 1 (mod 11).
Fuentes: Modular multiplicative inverse — Wikipedia · Extended Euclidean algorithm — Wikipedia
Preguntas frecuentes
¿Cuándo no existe el inverso modular?
Cuando mcd(a, m) > 1. Por ejemplo, 4 no tiene inverso módulo 10 porque ambos son pares: 4x siempre es par y nunca puede ser un múltiplo de 10 más 1.
¿Puedo usar el pequeño teorema de Fermat?
Si m es primo, a⁻¹ ≡ a^(m−2) (mod m). Para 3 mod 11 eso es 3⁹ = 19,683 ≡ 4 (mod 11). El algoritmo de Euclides extendido funciona para cualquier par a, m coprimos.
¿Qué pasa si a es negativo?
La calculadora primero reduce a al rango de 0 a m − 1 (por ejemplo, −3 mod 11 = 8) y luego calcula el inverso de ese número.
¿Dónde se usa el inverso modular?
En RSA (el exponente privado d es el inverso de e módulo φ(n)), en el teorema chino del resto, en funciones hash y para resolver congruencias lineales a·x ≡ b (mod m).
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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.