Calculadora de máximo común divisor (MCD) con procedimiento
Calcula el máximo común divisor (MCD) de dos o más números enteros con el algoritmo de Euclides y la descomposición en factores primos. Muestra todos los divisores comunes, el mcm y cada número dividido entre el MCD.
Cómo funciona
Euclides: MCD(a, b) = MCD(b, a mod b), y se repite hasta que el residuo sea 0; el último divisor distinto de cero es el MCD · Más números: MCD(a, b, c) = MCD(MCD(a, b), c) · Factores primos: MCD = producto de los primos comunes con su menor exponente · mcm(a, b) = a × b ÷ MCD(a, b)
El máximo común divisor (MCD) es el número entero más grande que divide exactamente a todos los números de la lista. En inglés se le llama GCF o GCD. La calculadora usa el algoritmo de Euclides, que es rápido incluso con números de 12 cifras: divides el número mayor entre el menor, reemplazas el mayor por el residuo y repites; el último divisor distinto de cero es el MCD. Con tres o más números saca el MCD de los dos primeros, luego el de ese resultado y el siguiente número, y así sucesivamente. El procedimiento muestra cada división. También descompone cada número en factores primos. El MCD es el producto de los primos que comparten todos los números, cada uno con el menor exponente con que aparece, y los divisores comunes son todos los divisores del MCD. Al dividir cada número entre el MCD obtienes los enteros más pequeños en la misma proporción, que es como se simplifican fracciones y razones. También verás el mínimo común múltiplo, ya que para dos números MCD × mcm = a × b. Los ceros se omiten (todo número divide a 0) y los signos negativos se ignoran.
Ejemplo resuelto
Luis tiene 24 paletas de fresa y 36 de limón y quiere armar bolsitas iguales sin que sobre nada. Con 24 y 36: 36 = 1 × 24 + 12 y luego 24 = 2 × 12 + 0, así que el MCD es 12. Por factores primos, 24 = 2³ × 3 y 36 = 2² × 3²; los primos comunes con su menor exponente dan 2² × 3 = 12. Los divisores comunes son 1, 2, 3, 4, 6 y 12, y el mínimo común múltiplo es 24 × 36 ÷ 12 = 72. Luis puede armar 12 bolsitas, cada una con 2 paletas de fresa y 3 de limón.
Fuentes: CalculatorSoup: Greatest Common Factor Calculator (methods and examples) · Calculator.net: GCF Calculator (prime factorization and Euclid examples) · Euclidean algorithm (Wikipedia)
Preguntas frecuentes
¿MCD y GCF son lo mismo?
Sí. "Máximo común divisor" (MCD) es el nombre en español; en inglés se le dice GCF, GCD o HCF. Todos se refieren al número más grande que divide a los datos sin dejar residuo.
¿Cómo saco el MCD de tres o más números?
Calcula el MCD de los dos primeros y luego el MCD de ese resultado con el tercero, y así sucesivamente. Para 20, 50 y 120: MCD(20, 50) = 10 y MCD(10, 120) = 10, así que el MCD es 10. Escribe los números extra en la casilla “Más números”.
¿Cómo se saca el MCD por descomposición en primos?
Descompón cada número y multiplica los factores comunes con su menor exponente. 24 = 2³ × 3 y 36 = 2² × 3², así que el MCD es 2² × 3 = 12.
¿Para qué sirve el máximo común divisor?
Es la clave para simplificar fracciones y razones: divides numerador y denominador (o ambos términos de la razón) entre su MCD. También sirve para repartir cosas en grupos iguales lo más grandes posible.
¿Qué pasa si los números no tienen divisores comunes?
El MCD es 1 y se dice que los números son primos entre sí (coprimos). Por ejemplo, 8 y 15 no comparten ningún factor primo, así que MCD(8, 15) = 1 aunque ninguno de los dos sea primo.
¿Cuál es el MCD si uno de los números es 0?
Por convención MCD(n, 0) = n, así que aquí un cero se ignora. Si todos los números son cero, el MCD no está definido.
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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.