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Calculadora del triple producto escalar a · (b × c) y volumen del paralelepípedo

Calcula el triple producto escalar a · (b × c) de tres vectores en 3D: el producto vectorial b × c, el volumen del paralelepípedo y del tetraedro, la orientación y si son coplanares.

a: x

a: y

a: z

b: x

b: y

b: z

c: x

c: y

c: z

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Cómo funciona

a · (b × c) = det[[a₁, a₂, a₃], [b₁, b₂, b₃], [c₁, c₂, c₃]] = a₁(b₂c₃ − b₃c₂) + a₂(b₃c₁ − b₁c₃) + a₃(b₁c₂ − b₂c₁) · volumen del paralelepípedo = |a · (b × c)| · volumen del tetraedro = |a · (b × c)| / 6

El triple producto escalar (o producto mixto) multiplica escalarmente un vector por el producto vectorial de los otros dos. Geométricamente, b × c es perpendicular al paralelogramo de la base y su longitud es el área de esa base; al multiplicar escalarmente por a se multiplica por la altura, así que el valor absoluto es el volumen del paralelepípedo que generan los tres vectores. Coincide con el determinante 3 × 3 de los vectores, vale cero exactamente cuando son coplanares y su signo indica si (a, b, c) es un sistema dextrógiro (OpenStax Cálculo Vol. 3 §2.4).

Ejemplo resuelto

a = (2, 0, 1), b = (1, 3, −1), c = (0, 1, 4). b × c = (3·4 − (−1)·1, (−1)·0 − 1·4, 1·1 − 3·0) = (13, −4, 1). a · (b × c) = 2·13 + 0·(−4) + 1·1 = 27. El paralelepípedo tiene volumen 27, el tetraedro 27/6 = 4.5, y el signo positivo indica que los vectores forman un sistema dextrógiro.

Fuentes: OpenStax Calculus Vol. 3 — 2.4 The Cross Product (triple scalar product) · Wolfram MathWorld — Scalar Triple Product

Preguntas frecuentes

¿Qué representa el triple producto escalar?

Su valor absoluto es el volumen del paralelepípedo con aristas a, b y c. Su signo indica la orientación (dextrógira o levógira).

¿Cómo sé si tres vectores son coplanares?

Son coplanares exactamente cuando a · (b × c) = 0, es decir, cuando la caja que generan tiene volumen cero.

¿Importa el orden de los vectores?

Las permutaciones cíclicas conservan el valor: a · (b × c) = b · (c × a) = c · (a × b). Intercambiar dos vectores cambia el signo.

¿Es lo mismo que un determinante?

Sí. Coloca a, b y c como filas (o columnas) de una matriz 3 × 3; su determinante es el triple producto escalar.

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