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Calculadora de determinante 3x3: desarrollo por cofactores con los menores paso a paso

Calcula el determinante de una matriz de 3×3 por desarrollo de cofactores y ve los tres menores de 2×2 para seguir cada paso. Te dice si tiene inversa.

Fila 1, columna 1

Fila 1, columna 2

Fila 1, columna 3

Fila 2, columna 1

Fila 2, columna 2

Fila 2, columna 3

Fila 3, columna 1

Fila 3, columna 2

Fila 3, columna 3

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Cómo funciona

det = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg), con la matriz [a, b, c; d, e, f; g, h, i]

El determinante de una matriz de 3×3 se calcula desarrollando por la primera fila (desarrollo de Laplace o por cofactores): cada elemento de esa fila se multiplica por el determinante de 2×2 que queda al tachar su fila y su columna, y los signos se alternan +, −, +. Por eso el término de b se resta. Si el determinante es distinto de cero, la matriz tiene inversa y sus filas son linealmente independientes; si vale cero, la matriz es singular.

Ejemplo resuelto

Para la matriz de filas (2, 1, 3), (0, −1, 4) y (1, 2, 0), los menores son ei − fh = (−1)·0 − 4·2 = −8, di − fg = 0·0 − 4·1 = −4 y dh − eg = 0·2 − (−1)·1 = 1. Entonces det = 2·(−8) − 1·(−4) + 3·1 = −16 + 4 + 3 = −9. Como no es cero, la matriz sí tiene inversa.

Fuentes: Determinant (Wikipedia)

Preguntas frecuentes

¿Qué significa que el determinante sea cero?

Que la matriz es singular: no tiene inversa y sus filas y columnas son linealmente dependientes. Un sistema de ecuaciones con ese determinante de coeficientes no tiene solución única: o no tiene ninguna o tiene infinitas.

¿Da lo mismo que con la regla de Sarrus?

Sí. La regla de Sarrus es un atajo que solo sirve para matrices de 3×3 y da exactamente el mismo valor que el desarrollo por cofactores. En el ejemplo de arriba, Sarrus también da −9.

¿Importa el signo del determinante?

Sí. Su valor absoluto indica cuánto escala los volúmenes la transformación, y el signo dice si conserva la orientación (positivo) o la invierte (negativo).

¿Puedo desarrollar por otra fila o columna?

Claro, el resultado es el mismo por cualquier fila o columna, siempre que respetes el tablero de signos. Conviene elegir la que tenga más ceros; esta calculadora desarrolla por la primera fila.

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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.