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Calculadora de valores propios (eigenvalores) de una matriz 2x2

Calcula los valores propios o eigenvalores de una matriz 2x2 a partir de su traza y su determinante: reales distintos, repetidos o complejos conjugados.

Fila 1, columna 1 (a)

Fila 1, columna 2 (b)

Fila 2, columna 1 (c)

Fila 2, columna 2 (d)

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Cómo funciona

λ = [traza ± √(traza² − 4·det)] ÷ 2, con traza = a + d y det = ad − bc

Los valores propios (también llamados eigenvalores o autovalores) de una matriz 2x2 son las raíces de su ecuación característica λ² − (traza)λ + det = 0. Como es una ecuación de segundo grado, se resuelve con la fórmula general: λ = (traza ± √(traza² − 4·det)) ÷ 2. Si el discriminante es positivo salen dos valores reales distintos; si es cero, un valor real repetido; y si es negativo, un par de complejos conjugados. En todos los casos su suma es igual a la traza y su producto al determinante.

Ejemplo resuelto

Toma la matriz [4, 1; 2, 3]. La traza es 4 + 3 = 7, el determinante 4·3 − 1·2 = 10 y el discriminante 7² − 4·10 = 49 − 40 = 9. Entonces λ = (7 ± 3) ÷ 2, es decir, λ₁ = 5 y λ₂ = 2. Comprobación: 5 + 2 = 7 (la traza) y 5 · 2 = 10 (el determinante). En cambio, con [1, −2; 1, 3] la traza es 4, el determinante 5 y el discriminante −4, así que los valores propios son 2 ± 1i.

Fuentes: Eigenvalues and eigenvectors (Wikipedia)

Preguntas frecuentes

¿Qué significa que un valor propio sea complejo?

Indica un comportamiento de rotación: una matriz real con valores propios complejos gira los vectores en lugar de solo estirarlos en direcciones fijas. Siempre aparecen en pareja, como a + bi y a − bi.

¿Cómo compruebo que mis valores propios están bien?

Súmalos: el resultado debe ser la traza (a + d). Multiplícalos: debe dar el determinante (ad − bc). La calculadora muestra la traza y el determinante junto al resultado para que hagas las dos comprobaciones.

¿Para qué sirve el discriminante?

Es traza² − 4·det y su signo decide el caso: positivo, dos valores propios reales distintos; cero, un valor propio real repetido; negativo, un par de complejos conjugados.

¿Es lo mismo valor propio, autovalor y eigenvalor?

Sí. Son tres nombres para el mismo concepto: el número λ que cumple A·v = λ·v para algún vector v distinto de cero, llamado vector propio o eigenvector.

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