Calculadora de determinantes: matrices de 2×2 a 10×10, con fracciones y procedimiento
Calcula el determinante exacto de una matriz cuadrada de 2×2 a 10×10 con enteros, decimales o fracciones. Ve paso a paso el desarrollo por cofactores (Laplace), la regla de Sarrus o la eliminación gaussiana, además del rango, la traza y si tiene inversa.
Cómo funciona
2×2: det[a, b; c, d] = ad − bc · 3×3 (regla de Sarrus): det = aei + bfg + cdh − ceg − afh − bdi · n×n (Laplace): det A = Σⱼ (−1)^(1+j) · a₁ⱼ · det M₁ⱼ · Eliminación gaussiana: det A = (−1)^(intercambios de filas) × producto de los pivotes
El determinante es un solo número que se calcula a partir de una matriz cuadrada. Su valor absoluto es el factor por el que la matriz escala las áreas (2×2) o los volúmenes (3×3 o más), y su signo indica si la transformación invierte la orientación. Un determinante igual a cero significa que las filas son linealmente dependientes: la matriz aplasta el espacio a una dimensión menor, no tiene inversa y un sistema de ecuaciones con ella no tiene solución única. En una matriz de 2×2 el determinante es ad − bc. En matrices más grandes, el desarrollo de Laplace (por cofactores) multiplica cada elemento de la primera fila por el determinante del menor que queda al tachar su fila y su columna, alternando signos, y suma los resultados; en una de 3×3, la regla de Sarrus da el mismo valor. El desarrollo por cofactores requiere del orden de n! operaciones, así que a partir de 4×4 la calculadora usa la eliminación gaussiana: suma a unas filas múltiplos de otras (eso no cambia el determinante), intercambia filas cuando hace falta (cada intercambio cambia el signo) y multiplica los pivotes de la diagonal de la matriz triangular que resulta. Todos los cálculos son exactos. Los decimales como 0.25 se leen como fracciones (1/4), así que el determinante se muestra como entero o fracción reducida, sin error de redondeo, junto con su valor decimal. También verás el rango, la traza y el determinante de la inversa (1 ÷ det).
Ejemplo resuelto
Para la matriz [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 10], desarrolla por la primera fila: det = 1 × det[5, 6; 8, 10] − 2 × det[4, 6; 7, 10] + 3 × det[4, 5; 7, 8] = 1 × 2 − 2 × (−2) + 3 × (−3) = 2 + 4 − 9 = −3. La regla de Sarrus coincide: (50 + 84 + 96) − (105 + 48 + 80) = 230 − 233 = −3. Como −3 ≠ 0, la matriz tiene inversa; su rango es 3, su traza 1 + 5 + 10 = 16 y el determinante de su inversa, −1/3.
Fuentes: Wikipedia: Determinant (Laplace expansion, Gaussian elimination, rule of Sarrus) · Math is Fun: Determinant of a Matrix (worked 2×2 and 3×3 examples) · Matrixcalc.org: determinant calculator (methods compared) · Calculator.net: Matrix calculator
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula un determinante de 2×2?
Multiplica la diagonal principal y réstale el producto de la otra diagonal: det = ad − bc. Para [3, 8; 4, 6] es 3 × 6 − 8 × 4 = 18 − 32 = −14.
¿Cómo se calcula el determinante de una matriz de 3×3?
Desarrolla por una fila: multiplica cada elemento de la primera fila por el determinante de 2×2 que queda al tachar su fila y su columna, alterna los signos + − + y suma. Para [6, 1, 1; 4, −2, 5; 2, 8, 7] da 6 × (−54) − 1 × 18 + 1 × 36 = −306. La regla de Sarrus es un atajo que da lo mismo, pero solo sirve en 3×3.
¿Qué significa que el determinante sea cero?
Que la matriz es singular: al menos una fila (o columna) es combinación de las demás, así que la matriz aplasta el espacio y no tiene inversa. Un sistema de ecuaciones con esa matriz de coeficientes no tiene solución o tiene infinitas.
¿Qué le pasa al determinante si intercambio filas o multiplico una fila?
Al intercambiar dos filas cambia de signo. Si multiplicas una fila por k, el determinante queda multiplicado por k. Sumar a una fila un múltiplo de otra no lo cambia, y por eso la eliminación gaussiana es una forma rápida de calcularlo.
¿Puedo escribir fracciones o decimales?
Sí. Escribe elementos como 1/2, -3/4 o 0.25. La calculadora los convierte a fracciones exactas, así que una matriz con fracciones da un determinante fraccionario exacto, como 7/12, junto con su valor decimal.
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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.