Calculadora de regla de Cramer 3x3: resuelve sistemas de tres ecuaciones
Resuelve un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas por la regla de Cramer y ve el determinante principal y los determinantes Dx, Dy y Dz.
Cómo funciona
x = Dx ÷ D · y = Dy ÷ D · z = Dz ÷ D, donde D es el determinante de la matriz de coeficientes y Dx, Dy, Dz se obtienen al cambiar la columna de cada incógnita por la de los términos independientes
La regla de Cramer resuelve un sistema de ecuaciones lineales cuadrado usando determinantes. Primero se calcula D, el determinante de la matriz de coeficientes. Después, para cada incógnita, se sustituye su columna por la columna de términos independientes y se calcula ese nuevo determinante. Al dividir cada determinante sustituido entre D sale el valor de la incógnita. Solo funciona cuando D es distinto de cero: si D = 0, el sistema no tiene solución única.
Ejemplo resuelto
Resolvamos 2x + y − z = 8, −3x − y + 2z = −11 y −2x + y + 2z = −3. El determinante de los coeficientes da D = −1. Al cambiar cada columna por los términos independientes (8, −11, −3) se obtiene Dx = −2, Dy = −3 y Dz = 1. Entonces x = −2 ÷ −1 = 2, y = −3 ÷ −1 = 3 y z = 1 ÷ −1 = −1. Puedes comprobarlo en la primera ecuación: 2(2) + 3 − (−1) = 8.
Fuentes: Cramer's rule (Wikipedia)
Preguntas frecuentes
¿Cuándo no se puede usar la regla de Cramer?
Cuando el determinante de los coeficientes D es cero. En ese caso la matriz es singular y el sistema es incompatible (sin solución) o compatible indeterminado (con infinitas soluciones); la regla no sirve porque habría que dividir entre cero.
¿Conviene usar Cramer en sistemas grandes?
Para sistemas de 2×2 y 3×3 es rápido y ordenado. En sistemas más grandes el número de determinantes se dispara y resulta mucho más eficiente el método de Gauss (eliminación gaussiana), por eso Cramer se usa sobre todo en clase y en sistemas pequeños.
¿Qué representan Dx, Dy y Dz?
Cada uno es el determinante de la matriz de coeficientes con una columna reemplazada por los términos independientes: la columna de x para Dx, la de y para Dy y la de z para Dz.
¿Cómo se calcula un determinante 3x3?
Puedes usar la regla de Sarrus o desarrollar por cofactores de la primera fila: a1(b2c3 − c2b3) − b1(a2c3 − c2a3) + c1(a2b3 − b2a3). Es justo el cálculo que la calculadora repite cuatro veces: para D, Dx, Dy y Dz.
Calculadoras relacionadas
Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.