Calculadora de área bajo la curva normal estándar: probabilidades a partir de z
Convierte un valor z en probabilidad bajo la curva normal estándar: cola izquierda, cola derecha, área entre −z y z o las dos colas, sin buscar en la tabla z.
Cómo funciona
Φ(z) = P(Z < z) = ½ × [1 + erf(z ÷ √2)] · Cola derecha = 1 − Φ(z) · Entre −z y z = 2 × Φ(|z|) − 1 · Dos colas = 2 × [1 − Φ(|z|)]
La distribución normal estándar tiene media 0 y desviación estándar 1, y su función de distribución acumulada Φ(z) da el área a la izquierda de un valor z: justo lo que viene en la clásica tabla z. Aquí Φ se calcula con una aproximación de la función error precisa hasta unos siete decimales, y a partir de ella se obtienen la cola derecha, el área central entre −z y z y el área de las dos colas juntas. Si partes de un dato real, primero conviértelo a valor z con z = (x − μ) ÷ σ.
Ejemplo resuelto
Para z = 1.96, Φ(1.96) = 0.975002: el 97.50% de los valores queda por debajo y la cola derecha vale 0.024998. El área de las dos colas, P(|Z| > 1.96), es 2 × 0.024998 = 0.049996, casi exactamente 0.05, y el área central entre −1.96 y 1.96 es 0.950004. Por eso ±1.96 marca los límites de un intervalo de confianza del 95%.
Fuentes: Normal distribution — Wikipedia
Preguntas frecuentes
¿Cómo convierto una medición real en valor z?
Réstale la media y divide entre la desviación estándar: z = (x − μ) ÷ σ. Un dato que está una desviación estándar por encima de la media tiene z = 1; luego lees aquí su probabilidad.
¿Por qué z = 1.96 da 0.975?
Porque es el punto por debajo del cual queda el 97.5% de la curva normal estándar, y deja un 2.5% en la cola superior. Como la curva es simétrica, entre −1.96 y 1.96 queda el 95% central, la base del intervalo de confianza del 95%.
¿El resultado es exacto?
Usa la aproximación de Abramowitz y Stegun para la función error, con un error máximo cercano a 1.5 × 10⁻⁷, así que en la práctica coincide con las tablas z en todas las cifras que se muestran.
¿Qué región debo elegir para una prueba de hipótesis?
Para una prueba de una cola usa la cola izquierda o la derecha según la dirección de tu hipótesis alternativa; para una prueba de dos colas usa «dos colas», que te da directamente el valor p bilateral de tu estadístico z.
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Herramienta con fines educativos: revisa los supuestos (tamaño de la muestra, independencia, distribución) antes de usar estos resultados para tomar decisiones reales.