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Calculadora de área de un polígono por coordenadas: fórmula de Gauss (del cordón)

Calcula el área de cualquier polígono irregular a partir de las coordenadas de sus vértices con la fórmula de Gauss o del cordón, además del perímetro.

Coordenadas de los vértices (pares x,y)

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Cómo funciona

A = ½ × | Σ (xᵢ × yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁ × yᵢ) | · los vértices se toman en orden y el último se une con el primero

La fórmula de Gauss, también llamada fórmula del cordón o de la lazada, da el área de cualquier polígono simple (sin lados que se crucen) directamente con las coordenadas de sus vértices, por irregular que sea. Multiplicas cada x por la y del siguiente vértice, le restas la x del siguiente por la y actual, sumas todo alrededor del polígono y tomas la mitad del valor absoluto. El patrón cruzado de las multiplicaciones recuerda a las agujetas de un zapato. Es muy usada en topografía para medir terrenos a partir de sus coordenadas.

Ejemplo resuelto

Luis quiere el área de un terreno rectangular con vértices (0,0), (4,0), (4,3) y (0,3). Los productos cruzados suman (0 × 0 − 4 × 0) + (4 × 3 − 4 × 0) + (4 × 3 − 0 × 3) + (0 × 0 − 0 × 3) = 0 + 12 + 12 + 0 = 24, así que A = |24| ÷ 2 = 12 unidades cuadradas. El perímetro es 14 y los vértices están en sentido antihorario.

Fuentes: Shoelace formula — Wikipedia

Preguntas frecuentes

¿Tengo que repetir el primer vértice al final?

No. La fórmula une automáticamente el último vértice con el primero, así que cada esquina se escribe una sola vez y en orden.

¿Importa el orden de los vértices?

Sí: deben ir seguidos alrededor del contorno, todos en sentido horario o todos en antihorario. Si los desordenas, los lados se cruzan y el área sale mal.

¿Funciona con polígonos cóncavos?

Sí. La fórmula es exacta para cualquier polígono simple, convexo o cóncavo, siempre que sus lados no se crucen entre sí.

¿Por qué se llama fórmula del cordón o de la lazada?

Porque al escribir las coordenadas en dos columnas y trazar las multiplicaciones cruzadas, las líneas se parecen a las agujetas (cordones) de un zapato.

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