Calculadora del círculo de Mohr (esfuerzos principales, cortante máximo y transformación de esfuerzos)
Círculo de Mohr para esfuerzo plano: esfuerzos principales σ₁ y σ₂, ángulo principal, cortante máximo, esfuerzo de von Mises y esfuerzos en un plano girado cualquier ángulo, a partir de σx, σy y τxy.
Cómo funciona
Centro C = (σx + σy)/2 · radio R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²) · σ₁,₂ = C ± R · τmáx = R · tan 2θp = 2τxy/(σx − σy) · θs = θp ∓ 45° · σx′ = C + ((σx − σy)/2)cos 2θ + τxy sen 2θ, τx′y′ = −((σx − σy)/2) sen 2θ + τxy cos 2θ · von Mises σ_vm = √(σx² − σxσy + σy² + 3τxy²)
El círculo de Mohr es la forma gráfica de las ecuaciones de transformación del esfuerzo plano: cada orientación de un elemento pequeño corresponde a un punto de un círculo con centro en el esfuerzo normal promedio y radio igual al cortante máximo en el plano. Los extremos del diámetro horizontal son los esfuerzos principales, que actúan en planos sin cortante; los puntos superior e inferior dan el cortante máximo. Girar el elemento un ángulo θ mueve el punto 2θ sobre el círculo. El esfuerzo de von Mises combina las componentes para revisar la fluencia en materiales dúctiles. Convenciones y ecuaciones según Gere y Goodno, Mecánica de materiales (cap. 7), y Hibbeler.
Ejemplo resuelto
Con σx = 80 MPa, σy = −40 MPa y τxy = 30 MPa, el centro es (80 − 40)/2 = 20 MPa y el radio √(60² + 30²) = 67.08 MPa. Así σ₁ = 20 + 67.08 = 87.08 MPa, σ₂ = −47.08 MPa y τmáx = 67.08 MPa. El plano principal está en θp = ½ × atan(60/120) = 13.28°, y el cortante máximo en −31.72°. El esfuerzo de von Mises es √(80² + 80 × 40 + 40² + 3 × 30²) = 117.90 MPa. Girando 30°: σx′ = 75.98 MPa, σy′ = −35.98 MPa, τx′y′ = −36.96 MPa.
Fuentes: Gere & Goodno — Mechanics of Materials, Ch. 7 (Analysis of Stress and Strain) · Wikipedia — Mohr’s circle
Preguntas frecuentes
¿Qué son los esfuerzos principales?
Los esfuerzos normales máximo y mínimo en un punto, que actúan en planos donde el cortante es cero. Son los que usan las teorías de falla y las revisiones de materiales frágiles.
¿Por qué el ángulo se duplica en el círculo de Mohr?
Las ecuaciones de transformación dependen de 2θ, así que girar el elemento físico θ mueve su punto 2θ en el círculo. Los planos principales, a 90° entre sí, quedan en extremos opuestos de un diámetro.
¿Cuál es la diferencia entre cortante máximo en el plano y absoluto?
El cortante en el plano es el radio del círculo. Si los dos esfuerzos principales tienen el mismo signo, el cortante máximo real involucra el esfuerzo fuera del plano σ₃ = 0 y vale el mayor entre |σ₁|/2 y |σ₂|/2.
¿Cuándo debo usar el esfuerzo de von Mises?
En metales dúctiles: se predice fluencia cuando el esfuerzo de von Mises alcanza el límite de fluencia a tensión. Los materiales frágiles se revisan mejor con los esfuerzos principales.
Calculadoras relacionadas
Los resultados suponen el modelo idealizado de libro de texto descrito arriba; los sistemas reales tienen pérdidas y tolerancias, así que verifica los valores críticos para la seguridad con mediciones o con un ingeniero calificado.