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Calculadora del cociente de diferencias (cociente incremental)

Simplifica el cociente de diferencias [f(x + h) − f(x)] / h de cualquier polinomio paso a paso: f(x + h) desarrollado, el cociente simplificado, su límite f′(x) cuando h → 0 y un valor numérico.

f(x)

Valor de x (comprobación numérica)

Valor de h (comprobación numérica)

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Cómo funciona

Cociente de diferencias = [f(x + h) − f(x)] / h · desarrolla f(x + h), resta f(x), divide cada término restante entre h · lím (h → 0) = f′(x)

El cociente de diferencias (o cociente incremental) es la pendiente de la recta secante entre los puntos (x, f(x)) y (x + h, f(x + h)). En un polinomio todos los términos de f(x + h) − f(x) llevan un factor h, que se cancela exactamente y deja un polinomio en x y h. Si h tiende a 0 se obtiene la derivada; por eso es el primer paso de la definición de derivada por límites (OpenStax Cálculo Vol. 1 §3.1). El desarrollo es exacto y conserva las fracciones.

Ejemplo resuelto

f(x) = x² + 3x − 1. f(x + h) = (x + h)² + 3(x + h) − 1 = x² + 2xh + h² + 3x + 3h − 1. Al restar f(x) queda 2xh + h² + 3h, y al dividir entre h resulta 2x + h + 3. Cuando h → 0 esto da f′(x) = 2x + 3. Comprobación numérica con x = 1 y h = 0.5: [f(1.5) − f(1)] / 0.5 = (5.75 − 3) / 0.5 = 5.5.

Fuentes: OpenStax Calculus Vol. 1 — 3.1 Defining the Derivative · Paul’s Online Math Notes — The Definition of the Derivative

Preguntas frecuentes

¿Qué es el cociente de diferencias?

Es [f(x + h) − f(x)] / h, la razón de cambio promedio de f en el intervalo pequeño de x a x + h; geométricamente, la pendiente de una recta secante.

¿Cómo se simplifica un cociente de diferencias?

Desarrolla f(x + h), resta f(x) para que se cancelen los términos sin h, saca h como factor común de lo que queda y simplifícalo con el denominador. Nunca canceles antes de restar.

¿Por qué h no puede valer 0?

Porque la expresión divide entre h. Después de simplificar puedes hacer que h tienda a 0, lo que da la derivada f′(x), pero no puedes sustituir h = 0 en la fracción original.

¿Cuál es el cociente de diferencias de x²?

[(x + h)² − x²] / h = (2xh + h²) / h = 2x + h, y su límite cuando h → 0 es 2x.

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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.