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Calculadora de composición de funciones — f(g(x)) y g(f(x))

Compón dos funciones polinómicas: obtén f(g(x)) y g(f(x)) desarrolladas y simplificadas, su grado y el valor de cada composición en cualquier x, mostrando el valor interior.

f(x)

g(x)

Evaluar en x

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Cómo funciona

(f ∘ g)(x) = f(g(x)): sustituye cada x de f por la expresión completa g(x), desarrolla y reduce términos semejantes · (g ∘ f)(x) = g(f(x)) · grado de f(g(x)) = grado de f × grado de g

La composición usa la salida de una función como entrada de otra: en f(g(x)) actúa primero la función interior g y luego f actúa sobre su resultado. La calculadora sustituye g(x) dentro de f de forma simbólica con fracciones exactas, desarrolla las potencias y reduce términos semejantes, y hace lo mismo en el orden contrario. La composición casi nunca es conmutativa, así que f(g(x)) y g(f(x)) suelen ser polinomios distintos. El valor en un x dado se calcula evaluando primero la función interior, como se enseña en los cursos de precálculo (OpenStax Precálculo §1.4).

Ejemplo resuelto

f(x) = x² + 1 y g(x) = 2x − 3. f(g(x)) = (2x − 3)² + 1 = 4x² − 12x + 9 + 1 = 4x² − 12x + 10. g(f(x)) = 2(x² + 1) − 3 = 2x² − 1. En x = 2: g(2) = 1, así que f(g(2)) = f(1) = 2; f(2) = 5, así que g(f(2)) = g(5) = 7. Las dos composiciones son distintas: el orden importa.

Fuentes: OpenStax Precalculus 2e — 1.4 Composition of Functions · Khan Academy — Composite functions

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula f(g(x))?

Escribe f(x) y, donde aparezca x, coloca (g(x)) entre paréntesis. Luego desarrolla y simplifica. Con f(x) = x² + 1 y g(x) = 2x − 3, f(g(x)) = (2x − 3)² + 1 = 4x² − 12x + 10.

¿f(g(x)) es lo mismo que g(f(x))?

Casi nunca. La composición no es conmutativa: en el ejemplo da 4x² − 12x + 10 en un orden y 2x² − 1 en el otro. Coinciden solo en casos especiales, como una función y su inversa.

¿f(g(x)) es lo mismo que f(x) · g(x)?

No. f(x)·g(x) multiplica las dos salidas, mientras que f(g(x)) mete una función dentro de la otra. La notación (f ∘ g)(x), con el circulito, significa composición.

¿Qué grado tiene una composición de polinomios?

El grado de f(g(x)) es el grado de f por el grado de g. Una cuadrática compuesta con una cúbica da un polinomio de grado 6.

¿Cómo evalúo f(g(2)) sin sacar la fórmula?

De adentro hacia afuera: calcula primero g(2) y luego sustituye ese número en f. La calculadora muestra los dos pasos.

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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.