Calculadora de polinomios: suma, resta, multiplicación y división
Suma, resta, multiplica o divide dos polinomios. Escríbelos como expresiones, por ejemplo x^2 − 3x + 2 o (x − 1)(x + 2), o como lista de coeficientes, y obtén el resultado simplificado, cociente y residuo, grado, coeficientes, una comprobación numérica y los pasos de la división.
Cómo funciona
Suma y resta: (A ± B)ₖ = Aₖ ± Bₖ (se reducen términos semejantes) · Multiplicación: (A × B)ₖ = Σᵢ Aᵢ · Bₖ₋ᵢ, grado = grado A + grado B · División: A = B × Q + R con grado R < grado B (división larga) · Comprobación: la identidad se cumple para cualquier valor de x
Escribe cada polinomio como una expresión normal, por ejemplo x^2 − 3x + 2, 2x³ + x − 5 o (x − 1)(x + 2)^2, o como lista de coeficientes de la potencia más alta al término independiente: "1, -3, 2" es x² − 3x + 2. Las expresiones admiten +, −, *, ^, paréntesis, multiplicación implícita (3x, 2(x + 1)), decimales y potencias enteras; cualquier letra sirve como variable. Los productos y potencias entre paréntesis se desarrollan antes de operar. Para sumar o restar se combinan los coeficientes de las mismas potencias. Para multiplicar, cada término de A se multiplica por cada término de B y se agrupan los términos semejantes, así que el grado del producto es la suma de los grados. Para dividir se usa la división larga de polinomios: en cada paso se divide el término principal de lo que queda entre el término principal de B, se resta ese múltiplo de B y se repite hasta que el residuo tenga menor grado que B. El resultado se escribe A = B × Q + R. La calculadora también muestra el grado, la lista de coeficientes, una tabla de coeficientes por término, una gráfica de A, B y el resultado, y una comprobación numérica en el valor de x que elijas (2 por defecto): como la identidad se cumple para cualquier x, confirma el álgebra.
Ejemplo resuelto
Multiplica A = x² − 3x + 2 ("1, -3, 2") por B = x − 1 ("1, -1"). El coeficiente de x³ es 1·1 = 1; el de x², 1·(−1) + (−3)·1 = −4; el de x, (−3)·(−1) + 2·1 = 5, y el término independiente, 2·(−1) = −2. El producto es x³ − 4x² + 5x − 2, de grado 3, con coeficientes 1, −4, 5, −2. Comprobación en x = 2: A = 0 y B = 1, así que A × B = 0, y el resultado da 8 − 16 + 10 − 2 = 0. Si en cambio divides A entre B, el cociente es x − 2 y el residuo 0, porque x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2).
Fuentes: Wikipedia: Polynomial long division · eMathHelp: Polynomial calculator (sum, difference, product and quotient example) · AnalyzeMath: Online polynomial division calculator (worked example)
Preguntas frecuentes
¿Cómo escribo un polinomio en la calculadora?
Escríbelo como lo harías en papel, por ejemplo 2x^3 - 5x + 1 o (x + 1)(x - 4), o da sus coeficientes del grado más alto al término independiente con un 0 en cada potencia que falte: 2x³ − 5x + 1 es "2, 0, -5, 1".
¿Cómo se dividen polinomios?
Con la división larga. Divide el término principal del dividendo entre el del divisor, multiplica el divisor por ese término, resta y repite con lo que queda hasta que su grado sea menor que el del divisor. Para (2x⁴ + x³ + 2x² − x − 7) ÷ (x² − 2x − 1) el cociente es 2x² + 5x + 14 y el residuo 32x + 7.
¿Por qué al multiplicar sube el grado?
Porque los términos de mayor grado se multiplican entre sí: un polinomio de grado m por uno de grado n genera un término de grado m + n que nada puede cancelar. Por ejemplo, x² por x da x³.
¿Qué pasa si una resta cancela el término principal?
El grado real baja y los ceros del principio se eliminan, así que 0x² + 3x − 1 se muestra como 3x − 1. Si restas un polinomio de sí mismo obtienes el polinomio cero, cuyo grado no está definido.
¿Cómo compruebo un resultado con polinomios?
Sustituye x por un número en los datos y en la respuesta. En un producto, A(2) × B(2) debe ser igual al resultado en x = 2; en una división, B × cociente + residuo debe dar A. La calculadora hace esta comprobación automáticamente.
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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.