Calculadora de ecuaciones de tercer grado: raíces reales de ax³ + bx² + cx + d = 0
Resuelve ecuaciones cúbicas ax³ + bx² + cx + d = 0 y obtén sus raíces reales con el método trigonométrico y la fórmula de Cardano, paso a paso.
Cómo funciona
ax³ + bx² + cx + d = 0 · se sustituye x = t − b/(3a) → t³ + pt + q = 0 · Δ = (q/2)² + (p/3)³ · raíces por el método trigonométrico o por Cardano
Toda ecuación de tercer grado se simplifica primero con el cambio x = t − b/(3a), que elimina el término en x² y deja una cúbica reducida (o deprimida): t³ + pt + q = 0. Después, el valor Δ = (q/2)² + (p/3)³ decide el método. Si Δ es negativo hay tres raíces reales distintas, que se obtienen con la fórmula trigonométrica de cosenos; si Δ es positivo hay una sola raíz real, que se saca con la fórmula de Cardano (las otras dos son complejas conjugadas y esta calculadora no las muestra). Las raíces se redondean y se ajustan al entero más cercano cuando están a un pelo de él, para que los resultados exactos se lean limpios.
Ejemplo resuelto
Resuelve x³ − 6x² + 11x − 6 = 0. Aquí a = 1, b = −6, c = 11 y d = −6, de donde p = −1 y q = 0, así que Δ = −1/27 < 0: hay tres raíces reales. La fórmula trigonométrica da t = 1, 0, −1 y, al sumar −b/(3a) = 2, queda x = 3, 2, 1. Coincide con la factorización (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0.
Fuentes: Cubic equation — Wikipedia
Preguntas frecuentes
¿Por qué solo aparecen raíces reales?
Cuando el discriminante es positivo, la cúbica tiene una raíz real y un par de raíces complejas conjugadas. Esta calculadora muestra la raíz real (o las tres cuando todas son reales), que es lo que se necesita en la mayoría de los problemas aplicados.
¿Qué es la cúbica reducida o deprimida?
Es la ecuación que resulta tras el cambio x = t − b/(3a), que cancela el término al cuadrado. Esa forma más simple, t³ + pt + q = 0, es la que realmente resuelven las fórmulas trigonométrica y de Cardano.
¿Por qué mis raíces salen como números enteros?
Las fórmulas usan raíces cúbicas y cosenos que introducen pequeños errores de redondeo, así que una raíz a menos de una millonésima de un entero se ajusta a él: 2.9999998 vuelve a ser el 3 que debía ser.
¿Cuántas soluciones tiene una ecuación de tercer grado?
Siempre tiene tres raíces contando las complejas y las repetidas, y al menos una es real. Por eso toda cúbica con coeficientes reales corta el eje x por lo menos una vez.
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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.