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Calculadora de división sintética (Ruffini) paso a paso

Divide un polinomio entre x − r con división sintética (regla de Ruffini): esquema completo, cociente, residuo, comprobación con el teorema del residuo y si x − r es factor.

Coeficientes del dividendo

Divide entre x − r, con r =

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Cómo funciona

Baja a₀ · luego repite: multiplica el último número de abajo por r y súmalo al siguiente coeficiente · fila inferior = coeficientes del cociente + residuo · P(r) = residuo

La división sintética, conocida en España como regla de Ruffini, es un atajo para dividir un polinomio entre un factor lineal x − r usando solo sus coeficientes. Escribe los coeficientes en fila (con 0 en cada potencia que falte), baja el primero, multiplícalo por r, suma el resultado al siguiente coeficiente y repite. La fila inferior contiene los coeficientes del cociente, un grado menor que el dividendo, y el último número es el residuo. Por el teorema del residuo, ese residuo es igual a P(r): si vale 0, x − r es factor y r es raíz.

Ejemplo resuelto

Divide x³ − 6x² + 11x − 6 entre x − 2 (r = 2). Baja el 1. 1 × 2 = 2 y −6 + 2 = −4. −4 × 2 = −8 y 11 + (−8) = 3. 3 × 2 = 6 y −6 + 6 = 0. La fila inferior 1, −4, 3 | 0 da el cociente x² − 4x + 3 con residuo 0, así que x − 2 es factor y x³ − 6x² + 11x − 6 = (x − 2)(x² − 4x + 3).

Fuentes: Synthetic division — Wikipedia · Polynomial remainder theorem — Wikipedia

Preguntas frecuentes

¿Cómo divido entre x + 3?

Escribe el divisor como x − r: x + 3 = x − (−3), así que r = −3.

¿Sirve la división sintética para dividir entre 2x − 1?

No directamente, porque solo funciona con coeficiente principal 1. Divide entre x − 1/2 (r = 0.5) y luego divide cada coeficiente del cociente entre 2. El residuo no cambia.

¿Por qué hay que poner ceros en los términos que faltan?

Cada posición de la fila corresponde a una potencia de x. Para x⁴ − 5x + 2 escribe 1, 0, 0, -5, 2; sin los ceros, cada coeficiente quedaría en la potencia equivocada.

¿Qué me dice el residuo?

El teorema del residuo dice que el residuo de dividir P(x) entre x − r es P(r). Por eso la regla de Ruffini también sirve para evaluar polinomios rápido, y un residuo 0 demuestra que r es raíz.

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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.