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Calculadora de función inversa — lineal y racional f(x) = (ax + b)/(cx + d)

Calcula la inversa de una función lineal o racional f(x) = (ax + b)/(cx + d): f⁻¹(x) simplificada, el dominio y el rango de f y de f⁻¹, y una comprobación numérica de f⁻¹(f(x)) = x.

a (coeficiente de x, numerador)

b (constante, numerador)

c (coeficiente de x, denominador)

d (constante, denominador)

Comprobar en x

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Cómo funciona

y = (ax + b)/(cx + d) → intercambia x e y → x(cy + d) = ay + b → f⁻¹(x) = (dx − b)/(−cx + a) · caso lineal (c = 0): f⁻¹(x) = (dx − b)/a · existe inversa cuando ad − bc ≠ 0

Para invertir una función se escribe y = f(x), se intercambian x e y, y se despeja y. Para la forma racional (de Möbius) (ax + b)/(cx + d) el resultado siempre es (dx − b)/(−cx + a), y para una recta da (x − b)/a tras dividir entre d. La función es inyectiva justo cuando ad − bc ≠ 0; si no, es constante y no tiene inversa. El dominio de f excluye el cero del denominador, x = −d/c, y su rango excluye la asíntota horizontal y = a/c; en f⁻¹ estos papeles se intercambian (OpenStax Precálculo §3.7).

Ejemplo resuelto

f(x) = (2x + 1)/(x − 3), es decir a = 2, b = 1, c = 1, d = −3. Intercambia y despeja: x(y − 3) = 2y + 1 → xy − 2y = 3x + 1 → f⁻¹(x) = (3x + 1)/(x − 2). ad − bc = −6 − 1 = −7 ≠ 0, así que la inversa existe. Dominio de f: x ≠ 3; rango de f: y ≠ 2. Comprobación: f(4) = 9/1 = 9 y f⁻¹(9) = 28/7 = 4.

Fuentes: OpenStax Precalculus 2e — 3.7 Inverse Functions · Paul’s Online Math Notes — Inverse Functions

Preguntas frecuentes

¿Cómo se encuentra la inversa de una función?

Cambia f(x) por y, intercambia x e y, y despeja y en la nueva ecuación. El resultado es f⁻¹(x). Compruébalo con f(f⁻¹(x)) = x.

¿Cómo se calcula la inversa de una función racional?

Para y = (ax + b)/(cx + d), intercambia: x = (ay + b)/(cy + d); multiplica en cruz x(cy + d) = ay + b; agrupa los términos con y (cxy − ay = b − dx) y divide: y = (dx − b)/(−cx + a).

¿Cuándo una función no tiene inversa?

Cuando no es inyectiva (uno a uno). Para (ax + b)/(cx + d) eso solo ocurre si ad − bc = 0, que la vuelve constante. Las parábolas y otras funciones no inyectivas necesitan restringir el dominio primero.

¿Qué relación hay entre el dominio y el rango de f y f⁻¹?

Se intercambian: el dominio de f⁻¹ es el rango de f, y el rango de f⁻¹ es el dominio de f.

¿f⁻¹(x) es lo mismo que 1/f(x)?

No. f⁻¹ deshace lo que hace f; 1/f(x) es el recíproco de la salida. Para f(x) = 2x, f⁻¹(x) = x/2, pero 1/f(x) = 1/(2x).

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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.