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Calculadora de derivada en un punto: pendiente y recta tangente

Calcula la primera y la segunda derivada de un polinomio cúbico en cualquier punto con diferencias centrales, y obtén la ecuación de la recta tangente.

a (término en x³)

b (término en x²)

c (término en x)

d (término independiente)

Evaluar en x

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Cómo funciona

f'(x) ≈ [f(x + h) − f(x − h)] ÷ (2h) · f''(x) ≈ [f(x + h) − 2f(x) + f(x − h)] ÷ h² · Recta tangente: y = f'(x₀) × (x − x₀) + f(x₀)

La derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. Aquí se estima con diferencias centrales: se evalúa la función un poquito a la izquierda y un poquito a la derecha del punto, y como el paso es simétrico se cancela el término principal del error. Por eso es más precisa que la diferencia hacia adelante. Con los mismos tres puntos se calcula la segunda derivada, que mide cómo cambia la pendiente y te dice hacia dónde se curva la función.

Ejemplo resuelto

Para f(x) = x² en x = 3, la derivada exacta es 2x = 6. La diferencia central [(3.0001)² − (2.9999)²] ÷ 0.0002 da exactamente 6, la función vale 9 y la segunda derivada sale 2, la curvatura constante de una parábola. La recta tangente es y = 6(x − 3) + 9, es decir, y = 6x − 9.

Fuentes: Finite difference — Wikipedia

Preguntas frecuentes

¿Por qué usar la diferencia central y no la diferencia hacia adelante?

La diferencia hacia adelante [f(x + h) − f(x)] ÷ h tiene un error proporcional a h. La central promedia un paso hacia adelante y otro hacia atrás, cancela ese término y deja un error proporcional a h², mucho menor con el mismo paso.

¿Qué me dice la segunda derivada?

Indica la concavidad. Si f'' es positiva, la curva se abre hacia arriba en ese punto (como un valle); si es negativa, se abre hacia abajo (como una colina), y si vale cero suele haber un punto de inflexión.

¿También puedo derivar una recta o una parábola?

Sí. Pon a = 0 para una parábola, o a = 0 y b = 0 para una recta. Una recta tiene pendiente constante y segunda derivada cero.

¿Cómo se obtiene la ecuación de la recta tangente?

Con el punto (x₀, f(x₀)) y la pendiente f'(x₀): y = f'(x₀) × (x − x₀) + f(x₀). Para f(x) = x² en x = 6, la pendiente es 12 y la tangente es y = 12x − 36.

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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.