Calculadora del método de Newton-Raphson: raíces de un polinomio
Encuentra una raíz de un polinomio de hasta tercer grado con el método de Newton-Raphson desde un valor inicial, con número de iteraciones y residuo.
Cómo funciona
xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ) ÷ f′(xₙ) · Se repite hasta que |f(x)| o el tamaño del paso quedan por debajo de la tolerancia
El método de Newton-Raphson sigue la recta tangente en el valor actual hasta donde corta al eje x y repite el proceso desde ahí. Cuando funciona, converge de forma cuadrática: la cantidad de cifras correctas más o menos se duplica en cada paso. La desventaja es que necesita la derivada y un buen valor inicial. Cerca de un punto donde la derivada es casi cero, o lejos de cualquier raíz, puede estancarse o salir disparado; la calculadora lo detecta y te avisa.
Ejemplo resuelto
Para resolver x² − 2 = 0 partiendo de x₀ = 1: la primera iteración da 1 − (−1) ÷ 2 = 1.5, la segunda 1.41667 y la tercera 1.414216, que ya tiene seis cifras correctas. En 5 iteraciones llega a √2 ≈ 1.41421356. Si empiezas en x₀ = 0.5, necesita 6.
Fuentes: Newton's method — Wikipedia
Preguntas frecuentes
¿Qué es la convergencia cuadrática?
Cuando ya estás cerca de una raíz simple, cada paso de Newton eleva el error más o menos al cuadrado, así que el número de decimales correctos se duplica por iteración. Por eso suele bastar con unos pocos pasos para llegar a la precisión máxima.
¿Por qué puede fallar el método de Newton-Raphson?
Si la derivada es casi cero en el valor actual, la tangente es casi horizontal y el siguiente punto salta muy lejos. Un mal valor inicial también puede llevarlo a otra raíz o hacerlo diverger. La calculadora avisa cuando la derivada es cero o no hay convergencia, en lugar de darte un número sin sentido.
¿En qué se diferencia del método de bisección?
La bisección es más lenta pero infalible: si hay cambio de signo, siempre converge. Newton-Raphson es mucho más rápido pero puede diverger. Una estrategia común es acotar la raíz con bisección y luego afinarla con Newton.
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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.