Calculadora del método de bisección: raíz de un polinomio en un intervalo
Encuentra la raíz de un polinomio de hasta tercer grado dentro de un intervalo con el método de bisección. Convergencia garantizada si hay cambio de signo.
Cómo funciona
Punto medio m = (p + q) ÷ 2 · Si f(p) × f(m) < 0, la raíz está en [p, m]; si no, en [m, q] · Requisito: f(p) × f(q) < 0
El método de bisección se apoya en el teorema de Bolzano (del valor intermedio): si una función continua cambia de signo en un intervalo, tiene que cruzar el cero en algún punto de ese intervalo. En cada paso se parte el intervalo a la mitad y se conserva la mitad que sigue encerrando la raíz, de modo que la incertidumbre se reduce a la mitad en cada iteración. Es más lento que el método de Newton-Raphson, pero no puede diverger siempre que empieces con un cambio de signo real.
Ejemplo resuelto
Para resolver x² − 2 = 0 en [0, 2]: f(0) = −2 y f(2) = 2 tienen signos opuestos, así que hay una raíz dentro. Los puntos medios van quedando en 1, 1.5, 1.25, 1.375, 1.4375… y se acercan a √2 ≈ 1.41421356, que se alcanza con precisión completa en 41 iteraciones.
Fuentes: Bisection method — Wikipedia
Preguntas frecuentes
¿Por qué f(p) y f(q) deben tener signos opuestos?
El cambio de signo garantiza que una función continua cruza el cero entre esos dos puntos. Sin él puede no haber raíz en el intervalo (o haber un número par de ellas) y partir a la mitad no sirve para acorralar una, por eso la calculadora te pide corregir el intervalo.
¿Cuántas iteraciones necesita el método de bisección?
El ancho del intervalo se reduce a la mitad en cada paso, así que para pasar de un ancho w a una tolerancia ε necesitas unas log₂(w ÷ ε) iteraciones, alrededor de 3.3 pasos por cada cifra decimal extra.
¿Qué pasa si hay varias raíces en el intervalo?
La bisección converge a una de ellas, pero no se garantiza cuál si el intervalo contiene varios cambios de signo. Acota el intervalo alrededor de un solo cruce para encontrar la raíz que te interesa.
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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.