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Calculadora del teorema del valor medio (Lagrange) y de Rolle

Encuentra todos los valores c que garantiza el teorema del valor medio para un polinomio en [a, b]: razón de cambio promedio, f′(c) = [f(b) − f(a)]/(b − a), rectas secante y tangente y el caso de Rolle.

f(x)

Inicio del intervalo a

Fin del intervalo b

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Cómo funciona

Si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe c en (a, b) con f′(c) = [f(b) − f(a)] / (b − a) · resuelve f′(c) − m = 0 y conserva las soluciones estrictamente entre a y b · teorema de Rolle: f(a) = f(b) ⇒ f′(c) = 0

El teorema del valor medio (de Lagrange) dice que en algún punto del interior del intervalo la razón de cambio instantánea es igual a la razón de cambio promedio: al menos una recta tangente es paralela a la secante que une los extremos. Los polinomios son continuos y derivables en todo ℝ, así que el teorema siempre se cumple. La calculadora obtiene la pendiente de la secante de forma exacta, resuelve f′(c) = pendiente y se queda solo con las raíces estrictamente dentro de (a, b) (OpenStax Cálculo Vol. 1 §4.4). Si f(a) = f(b) la pendiente es 0: es el caso particular del teorema de Rolle.

Ejemplo resuelto

f(x) = x³ − 3x + 2 en [0, 2]: f(0) = 2 y f(2) = 4, así que la razón de cambio promedio es (4 − 2)/(2 − 0) = 1. f′(x) = 3x² − 3, y 3c² − 3 = 1 da c² = 4/3, c = ±1.154701. Solo c = 1.154701 está en (0, 2). La recta secante es y = x + 2 y la tangente en c es paralela a ella.

Fuentes: OpenStax Calculus Vol. 1 — 4.4 The Mean Value Theorem · Paul’s Online Math Notes — The Mean Value Theorem

Preguntas frecuentes

¿Cómo se encuentra c en el teorema del valor medio?

Calcula la razón de cambio promedio m = [f(b) − f(a)]/(b − a), plantea f′(c) = m, despeja c y conserva solo las soluciones que están estrictamente entre a y b.

¿Qué condiciones pide el teorema del valor medio?

f debe ser continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el abierto (a, b). Los polinomios siempre cumplen; funciones con picos, saltos o asíntotas verticales dentro del intervalo pueden no cumplir.

¿Qué diferencia hay entre el teorema de Rolle y el del valor medio?

Rolle es el caso especial f(a) = f(b): la razón promedio es 0, así que existe un punto con tangente horizontal, f′(c) = 0.

¿Puede haber más de un valor de c?

Sí. El teorema garantiza al menos uno; una función ondulada puede tener varios puntos donde la tangente es paralela a la secante. La calculadora los muestra todos.

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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.