Calculadora de puntos críticos (máximos, mínimos y puntos de inflexión)
Halla los puntos críticos de un polinomio f(x): resuelve f′(x) = 0, clasifica cada punto como máximo relativo, mínimo relativo o ninguno con la segunda derivada y calcula los puntos de inflexión.
Cómo funciona
Puntos críticos: f′(x) = 0 · criterio de la segunda derivada: f″(c) > 0 ⇒ mínimo relativo, f″(c) < 0 ⇒ máximo relativo, f″(c) = 0 ⇒ estudiar el cambio de signo de f′ · puntos de inflexión: f″(x) = 0 con cambio de signo
Un punto crítico de una función derivable es un valor de x donde la derivada vale cero (la recta tangente es horizontal). La segunda derivada indica la forma de la curva en ese punto: cóncava hacia arriba significa un valle (mínimo relativo) y cóncava hacia abajo, una cima (máximo relativo). Si f″ también es cero, decide el criterio de la primera derivada, y si f′ no cambia de signo no hay extremo. Los puntos de inflexión son donde f″ cambia de signo. Las derivadas son exactas; los ceros se hallan numéricamente.
Ejemplo resuelto
f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5: f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x + 1)(x − 3), así que los puntos críticos son x = −1, 3. f″(x) = 6x − 6 da f″(−1) = −12 < 0, un máximo relativo en (−1, 10), y f″(3) = 12 > 0, un mínimo relativo en (3, −22). f″ = 0 en x = 1, así que el punto de inflexión es (1, −6).
Fuentes: OpenStax Calculus Volume 1 — 4.3 Maxima and Minima · OpenStax Calculus Volume 1 — 4.5 Derivatives and the Shape of a Graph
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calculan los puntos críticos?
Se deriva la función, se iguala f′(x) = 0 y se resuelve. En funciones que no son polinomios también cuentan los puntos del dominio donde f′ no existe (picos o esquinas).
¿Todo punto crítico es un máximo o un mínimo?
No. f(x) = x³ tiene f′(0) = 0, pero la gráfica sigue subiendo al pasar por x = 0: es un punto de inflexión con tangente horizontal.
¿Qué hago si la segunda derivada vale 0?
El criterio no decide; usa el de la primera derivada y mira si f′ cambia de + a − (máximo), de − a + (mínimo) o no cambia de signo.
¿Los extremos relativos son el máximo y el mínimo absolutos?
No necesariamente. En un intervalo cerrado [a, b] compara f en los puntos críticos y en los dos extremos del intervalo para encontrar los absolutos.
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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.