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Calculadora del valor promedio de una función

Calcula el valor promedio de f(x) en [a, b] con f_prom = (1/(b − a))∫ f(x) dx: la integral definida, la altura media, el punto c donde f(c) = f_prom y los valores mínimo y máximo.

f(x)

Límite inferior a

Límite superior b

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Cómo funciona

f_prom = (1 / (b − a)) · ∫ₐᵇ f(x) dx · teorema del valor medio para integrales: existe c en [a, b] con f(c) = f_prom (f continua) · integral por la regla de Simpson con 2,000 subintervalos

El valor promedio de una función es la altura del rectángulo sobre [a, b] que tiene la misma área que la región bajo la curva: la integral definida dividida entre la longitud del intervalo. Para una función continua, el teorema del valor medio para integrales garantiza un punto c donde la función toma exactamente ese valor promedio (OpenStax Cálculo Vol. 1 §5.2). La integral se calcula con la regla de Simpson con 2,000 subintervalos, que es exacta para polinomios de hasta grado 3 y muy precisa para funciones suaves.

Ejemplo resuelto

f(x) = x² en [0, 3]: ∫₀³ x² dx = 3³/3 = 9 y la longitud del intervalo es 3, así que f_prom = 9 / 3 = 3. Al resolver x² = 3 se obtiene c = √3 = 1.732051, que está en [0, 3]. En este intervalo f va de 0 a 9.

Fuentes: OpenStax Calculus Vol. 1 — 5.2 The Definite Integral (average value) · Paul’s Online Math Notes — Average Function Value

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la fórmula del valor promedio de una función?

f_prom = (1/(b − a)) ∫ de a a b de f(x) dx: integra en el intervalo y divide entre su longitud.

¿El valor promedio es el promedio de f(a) y f(b)?

En general no. [f(a) + f(b)]/2 solo usa los extremos; el valor promedio tiene en cuenta todos los puntos intermedios. Para x² en [0, 3] el promedio de los extremos es 4.5, pero el valor promedio real es 3.

¿Qué significa el valor c?

Es un punto donde la función es igual a su propio valor promedio; el teorema del valor medio para integrales garantiza que existe si la función es continua.

¿El valor promedio puede ser negativo?

Sí. Si hay más área con signo por debajo del eje x que por encima, la integral y por tanto el valor promedio son negativos.

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