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Calculadora de sumas de Riemann

Calcula sumas de Riemann por la izquierda, por la derecha y del punto medio para cualquier f(x) en [a, b] con n rectángulos, con Δx, tabla de puntos y la suma trapezoidal para comparar.

Función f(x)

Límite inferior a

Límite superior b

Rectángulos n

Punto de muestra

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Cómo funciona

Δx = (b − a)/n · Izquierda: Σ f(a + (i−1)Δx)·Δx · Derecha: Σ f(a + iΔx)·Δx · Punto medio: Σ f(a + (i − ½)Δx)·Δx, i = 1…n

Una suma de Riemann aproxima el área bajo una curva con n rectángulos del mismo ancho Δx. La altura de cada rectángulo es el valor de la función en un punto de muestra: el extremo izquierdo, el derecho o el punto medio de su subintervalo. Para una función creciente la suma por la izquierda subestima y la de la derecha sobrestima; la del punto medio suele ser la más precisa de las tres, y al crecer n todas convergen a la integral definida.

Ejemplo resuelto

Para f(x) = x² en [0, 2] con n = 4: Δx = 0.5 y los extremos derechos son 0.5, 1, 1.5 y 2, así que la suma de Riemann por la derecha es 0.5 × (0.25 + 1 + 2.25 + 4) = 3.75. La suma por la izquierda es 1.75 y la del punto medio 2.625, frente a la integral exacta 8/3 ≈ 2.6667.

Fuentes: Riemann sum — Wikipedia · Approximating Areas — OpenStax Calculus Volume 1, 5.1

Preguntas frecuentes

¿Qué diferencia hay entre las sumas por la izquierda, por la derecha y del punto medio?

Solo dónde se mide la altura del rectángulo: al inicio, al final o en el centro de cada subintervalo. La del punto medio suele acercarse mucho más a la integral verdadera.

¿Cuándo una suma de Riemann sobrestima el área?

Si la función es creciente, la suma por la derecha sobrestima y la de la izquierda subestima (al revés si es decreciente). Si la función es cóncava hacia arriba, la del punto medio subestima.

¿Qué relación tiene con la integral definida?

La integral definida es el límite de las sumas de Riemann cuando n → ∞ (Δx → 0). Aumenta n para ver cómo las sumas se acercan al área exacta.

¿Una suma de Riemann puede ser negativa?

Sí. Donde f(x) está por debajo del eje x los rectángulos aportan área con signo negativo, así que la suma es el área neta con signo.

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