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Calculadora de la regla de Simpson

Aproxima una integral definida con la regla de Simpson 1/3 o 3/8: escribe f(x), los límites y n, y obtén la estimación, el paso h, la tabla de pesos y la comparación con el trapecio.

Función f(x)

Límite inferior a

Límite superior b

Subintervalos n

Regla

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Cómo funciona

Regla 1/3: ∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/3)[f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + 4f(x₃) + … + 4f(xₙ₋₁) + f(xₙ)], n par · regla 3/8: (3h/8)[f(x₀) + 3f(x₁) + 3f(x₂) + 2f(x₃) + … + f(xₙ)], n múltiplo de 3 · h = (b − a)/n

La regla de Simpson sustituye la curva en cada par de subintervalos por una parábola que pasa por tres puntos y la integra exactamente, lo que da el patrón de pesos 1, 4, 2, 4, …, 4, 1. El error disminuye con h⁴, así que es mucho más precisa que la regla del trapecio para funciones suaves y es exacta para cualquier polinomio cúbico. La regla 3/8 ajusta cúbicas por cuatro puntos (pesos 1, 3, 3, 2, …, 3, 3, 1) y necesita n divisible entre 3.

Ejemplo resuelto

Para f(x) = 1/(1 + x²) en [0, 1] con n = 6 y la regla 1/3: h = 1/6, los nodos son 0, 1/6, …, 1 y la suma ponderada es 14.13716301; multiplicada por h/3 = 1/18 da 0.78539795. El valor exacto es π/4 = 0.78539816…, un error de apenas unos 2 × 10⁻⁷. La regla del trapecio con el mismo n da 0.78424077.

Fuentes: Simpson's rule — Wikipedia · Numerical Integration — OpenStax Calculus Volume 2, 3.6

Preguntas frecuentes

¿Por qué n tiene que ser par en la regla de Simpson?

La regla 1/3 ajusta una parábola cada dos subintervalos, así que estos deben ir en pares. Si tu n es impar, usa la regla 3/8 o elige un n divisible entre 3.

¿Qué tan precisa es la regla de Simpson?

El error es −(b − a)h⁴f⁽⁴⁾(ξ)/180 para algún ξ en [a, b]. Duplicar n reduce el error unas 16 veces, y la regla es exacta para polinomios de grado 3 o menor.

¿Qué diferencia hay entre la regla 1/3 y la 3/8?

Ambas tienen error de cuarto orden. La 1/3 usa parábolas sobre pares de subintervalos y necesita n par; la 3/8 usa cúbicas sobre grupos de tres y necesita n múltiplo de 3. Con el mismo n, la 1/3 suele ser un poco más precisa.

¿Cómo escribo la función?

Usa x como variable, ^ para potencias, * para multiplicar (2x también funciona) y funciones como sin(x) o sen(x), cos(x), exp(x), ln(x), sqrt(x). pi y e son constantes. Los ángulos van en radianes.

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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.