➗

Calculadora de ángulo entre dos vectores en 3D: grados y radianes

Calcula el ángulo entre dos vectores en el espacio a partir del producto punto y sus módulos, en grados y radianes, y descubre si son paralelos o perpendiculares.

Vector a: componente x

Vector a: componente y

Vector a: componente z

Vector b: componente x

Vector b: componente y

Vector b: componente z

Cargando calculadora…

Cómo funciona

cos θ = (a · b) ÷ (|a| · |b|) · θ = arccos(cos θ), con a · b = aₓbₓ + a_yb_y + a_zb_z y |a| = √(aₓ² + a_y² + a_z²)

El producto punto (o producto escalar) de dos vectores es igual al producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman. Despejando queda cos θ = (a · b) ÷ (|a| · |b|), y al aplicar el arcocoseno se obtiene el ángulo, que siempre está entre 0° y 180°. Antes de calcular el arcocoseno, el coseno se limita al intervalo [−1, 1] para que un pequeño error de redondeo no produzca un resultado inválido. La calculadora también te dice si los vectores son perpendiculares, paralelos o de sentido opuesto.

Ejemplo resuelto

Luis quiere el ángulo entre a = (1, 0, 0) y b = (1, 1, 0). El producto punto es 1·1 + 0·1 + 0·0 = 1, el módulo de a es 1 y el de b es √2 ≈ 1.4142. Entonces cos θ = 1 ÷ 1.4142 ≈ 0.7071 y θ = arccos(0.7071) = 45°, que en radianes son 0.7854 rad.

Fuentes: Dot product (Wikipedia)

Preguntas frecuentes

¿Qué ángulo forman dos vectores perpendiculares?

90°. Ocurre justo cuando el producto punto es cero, porque cos 90° = 0. La calculadora lo indica en el resultado «Relación entre los vectores».

¿Por qué se limita el coseno entre −1 y 1?

Con vectores paralelos, el redondeo puede dejar el cociente apenas por encima de 1 o por debajo de −1. El arcocoseno de ese valor no existe, así que primero se regresa al intervalo válido.

¿Importa el orden de los vectores?

No. El producto punto es conmutativo, así que el ángulo entre a y b es el mismo que entre b y a, siempre un valor de 0° a 180°.

¿Cómo se calcula el ángulo entre dos vectores en el plano?

Igual que en 3D, pero con la componente z en cero. Por ejemplo, entre (3, 4) y (4, 3): el producto punto es 24, cada módulo vale 5 y cos θ = 24 ÷ 25 = 0.96, así que θ ≈ 16.26°.

Calculadoras relacionadas

Calculadora de proyección de vectores

Proyecta un vector a sobre otro vector b en 3D: obtén el vector proyección, la proyección escalar y la componente de a perpendicular a b.

Calculadora de módulo del producto vectorial

Calcula el producto vectorial a × b de dos vectores en 3D, su módulo y, con él, el área del paralelogramo y del triángulo que forman los vectores.

Calculadora de magnitud y dirección de un vector

Calcula la magnitud (módulo) de un vector en 2D o 3D a partir de sus componentes, su ángulo de dirección y el vector unitario correspondiente, paso a paso.

Calculadora de producto punto y producto cruz

Calcula el producto punto (escalar) y el producto cruz (vectorial) de dos vectores en 3D, el ángulo entre ellos y el área del paralelogramo que forman.

Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.