Calculadora de proyección de vectores: proyección ortogonal de a sobre b
Proyecta un vector a sobre otro vector b en 3D: obtén el vector proyección, la proyección escalar y la componente de a perpendicular a b.
Cómo funciona
proy_b a = ((a · b) ÷ |b|²) · b · proyección escalar = (a · b) ÷ |b| · componente perpendicular = a − proy_b a
La proyección ortogonal de a sobre b es la «sombra» de a en la dirección de b. Se obtiene multiplicando el vector b por el cociente (a · b) ÷ |b|², y su longitud con signo es la proyección escalar (a · b) ÷ |b|. Lo que sobra, a menos su proyección, es la componente perpendicular a b. Las dos partes siempre suman el vector original, y esa descomposición se usa en física para descomponer fuerzas y en álgebra lineal en el proceso de Gram-Schmidt.
Ejemplo resuelto
Ana proyecta a = (2, 3, 1) sobre b = (1, 1, 0). El producto punto es a · b = 2 + 3 + 0 = 5 y |b|² = 2, así que proy_b a = 2.5·(1, 1, 0) = (2.5, 2.5, 0). La proyección escalar es 5 ÷ √2 ≈ 3.5355 y la componente perpendicular es (2, 3, 1) − (2.5, 2.5, 0) = (−0.5, 0.5, 1); comprueba que es perpendicular a b porque −0.5 + 0.5 + 0 = 0.
Fuentes: Vector projection (Wikipedia)
Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre proyección escalar y proyección vectorial?
La escalar, (a · b) ÷ |b|, es un número: la longitud con signo de la sombra de a sobre b. La vectorial apunta esa longitud en la dirección de b. Si la escalar es negativa, la proyección apunta en sentido contrario a b.
¿Por qué no se puede proyectar sobre el vector cero?
La fórmula divide entre |b|², que vale 0 para el vector cero, y además ese vector no tiene dirección. La operación no está definida y la calculadora te avisa en lugar de dar un número sin sentido.
¿Para qué sirve la componente perpendicular?
Es la parte de a ortogonal a b. Separar un vector en una parte paralela y otra perpendicular a b es la base del método de Gram-Schmidt y de la descomposición de fuerzas en un plano inclinado.
¿La proyección de a sobre b es igual a la de b sobre a?
No. Proyectar a sobre b da un vector en la dirección de b, y proyectar b sobre a da uno en la dirección de a; solo comparten el producto punto del numerador.
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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.