➗

Calculadora de módulo del producto vectorial: área del paralelogramo y del triángulo

Calcula el producto vectorial a × b de dos vectores en 3D, su módulo y, con él, el área del paralelogramo y del triángulo que forman los vectores.

a — x

a — y

a — z

b — x

b — y

b — z

Cargando calculadora…

Cómo funciona

a × b = (a_y·b_z − a_z·b_y, a_z·b_x − a_x·b_z, a_x·b_y − a_y·b_x) · |a × b| = √(x² + y² + z²) = |a|·|b|·sen θ · área del triángulo = ½|a × b|

El producto vectorial (o producto cruz) de dos vectores del espacio es otro vector perpendicular a ambos, y su módulo vale |a|·|b|·sen θ. Ese número tiene una lectura geométrica muy útil: es el área del paralelogramo que forman a y b, y la mitad es el área del triángulo con esos dos vectores como lados. Por eso es la forma rápida de sacar áreas de triángulos en 3D a partir de sus vértices. Si los vectores son paralelos, el producto vectorial es el vector cero y el área también.

Ejemplo resuelto

Ana tiene un triángulo con lados a = (2, 0, 1) y b = (1, 3, 0). El producto vectorial es a × b = (0·0 − 1·3, 1·1 − 2·0, 2·3 − 0·1) = (−3, 1, 6). Su módulo es √(9 + 1 + 36) = √46 ≈ 6.7823, que es el área del paralelogramo; el triángulo tiene la mitad, 3.3912 unidades cuadradas.

Fuentes: Cross product (Wikipedia)

Preguntas frecuentes

¿Qué significa geométricamente el módulo del producto vectorial?

Es el área del paralelogramo que forman los dos vectores, igual a |a|·|b|·sen θ. La mitad es el área del triángulo que tiene esos vectores como lados.

¿Cómo calculo el área de un triángulo con sus vértices en 3D?

Resta coordenadas para obtener dos lados que salgan del mismo vértice, por ejemplo a = B − A y b = C − A. El área es ½|a × b|, que la calculadora te da directamente.

¿Cuándo el producto vectorial vale cero?

Cuando los vectores son paralelos o antiparalelos, o uno de ellos es el vector cero. Entonces sen θ = 0, el paralelogramo se aplana y el módulo es 0.

¿El producto vectorial es conmutativo?

No, es anticonmutativo: b × a = −(a × b). Al cambiar el orden el vector apunta en sentido contrario, aunque su módulo es el mismo.

Calculadoras relacionadas

Calculadora de proyección de vectores

Proyecta un vector a sobre otro vector b en 3D: obtén el vector proyección, la proyección escalar y la componente de a perpendicular a b.

Calculadora de ángulo entre dos vectores

Calcula el ángulo entre dos vectores en el espacio a partir del producto punto y sus módulos, en grados y radianes, y descubre si son paralelos o perpendiculares.

Calculadora de producto punto y producto cruz

Calcula el producto punto (escalar) y el producto cruz (vectorial) de dos vectores en 3D, el ángulo entre ellos y el área del paralelogramo que forman.

Calculadora de vectores

Escribe dos vectores en 2D o 3D y obtén el producto escalar, el producto vectorial, la magnitud de cada uno y el ángulo que forman, en grados.

Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.