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Calculadora de desarreglos: el subfactorial !n

Calcula los desarreglos o subfactorial !n: las permutaciones en las que ningún elemento queda en su lugar, y la probabilidad de que un sorteo al azar lo logre.

n (elementos)

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Cómo funciona

!n = (n − 1) × [ !(n − 1) + !(n − 2) ] · !0 = 1, !1 = 0 · !n ≈ n! ÷ e

Un desarreglo es una permutación en la que ningún elemento queda en su posición original: el clásico problema de los sombreros en el que nadie recibe el suyo. El subfactorial !n sigue una recurrencia sencilla y, curiosamente, !n ÷ n! se acerca casi de inmediato a 1/e ≈ 36.79%. Es decir, al revolver cualquier grupo razonable, alrededor del 37% de las veces nadie queda en su lugar. Aparece en el sorteo del intercambio de regalos, en el principio de inclusión-exclusión y en muchos acertijos.

Ejemplo resuelto

Cinco amigas hacen un intercambio de regalos y sacan papelitos al azar. Hay !5 = 44 sorteos en los que ninguna se saca a sí misma, de 5! = 120 posibles. La probabilidad de que el sorteo salga bien a la primera es 44 ÷ 120 = 36.67%, ya muy cerca de 1/e = 36.79%.

Fuentes: Derangement — Wikipedia

Preguntas frecuentes

¿Qué es exactamente un desarreglo?

Una permutación en la que todos los elementos cambian de lugar y ninguno se queda en su posición original. Si cinco personas intercambian sombreros y nadie recibe el suyo, eso es un desarreglo.

¿Por qué la probabilidad se acerca a 1/e?

Por inclusión-exclusión, !n ÷ n! = Σ (−1)ᵏ ÷ k!, que es la serie de Taylor de e⁻¹. Converge tan rápido que con n = 5 ya está a una fracción de punto del 36.79%.

¿Cuánto valen !0 y !1?

!0 = 1, porque el acomodo vacío no deja a nadie en su lugar, y !1 = 0, porque un solo elemento no tiene a dónde moverse.

¿Qué tiene que ver con el amigo secreto?

Un sorteo de amigo secreto válido es justamente un desarreglo: nadie puede sacarse a sí mismo. Por eso, sin importar cuántos sean, alrededor de 1 de cada 3 sorteos al azar sale bien a la primera.

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