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Calculadora de permutaciones circulares: (n − 1)! formas de sentarse en una mesa redonda

Calcula de cuántas formas se pueden sentar n personas en una mesa redonda con (n − 1)!, o (n − 1)! ÷ 2 si las imágenes en espejo cuentan como iguales.

n (objetos distintos)

Las imágenes en espejo cuentan como

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Cómo funciona

PC(n) = (n − 1)! si solo cuentan las rotaciones · (n − 1)! ÷ 2 si los reflejos son iguales (n ≥ 3)

En un círculo no hay un «primer lugar», así que las n rotaciones de un mismo acomodo son en realidad la misma permutación. Si divides las n! ordenaciones en fila entre n, quedan (n − 1)!. Si además el acomodo se puede voltear, como las cuentas de un collar, cada patrón coincide con su imagen en espejo y el conteo se reduce otra vez a la mitad (para n ≥ 3). La forma intuitiva de verlo es fijar a una persona en su silla y acomodar a las demás.

Ejemplo resuelto

Seis amigos se sientan a cenar en una mesa redonda: hay (6 − 1)! = 5! = 120 acomodos distintos. Si fueran 6 cuentas de colores en una pulsera, que se puede voltear, serían 120 ÷ 2 = 60. En fila, en cambio, habría 6! = 720.

Fuentes: Cyclic permutation — Wikipedia

Preguntas frecuentes

¿Por qué (n − 1)! y no n!?

Un círculo no tiene punto de inicio, así que girar a todos un lugar no crea un acomodo nuevo. Las n rotaciones se reducen a una sola, y n! ÷ n = (n − 1)!.

¿Cuándo hay que dividir también entre 2?

Cuando el acomodo se puede voltear y sigue siendo el mismo, como las cuentas de un collar o las llaves de un llavero. Cada patrón es igual a su imagen en espejo, así que el conteo se reduce a la mitad para n ≥ 3.

¿Y si las sillas de la mesa redonda están numeradas?

Entonces la posición sí importa y hay n! acomodos, igual que en una fila. Las permutaciones circulares solo aplican cuando los lugares no se distinguen entre sí.

¿De cuántas formas se pueden sentar 8 personas en una mesa redonda?

De (8 − 1)! = 7! = 5,040 formas distintas, contando como iguales los acomodos que solo son rotaciones.

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