Calculadora de distribución geométrica: probabilidad del primer éxito
Calcula la probabilidad de que el primer éxito llegue en el ensayo k, P(X ≤ k), P(X > k), la esperanza, la varianza y la desviación estándar de la distribución geométrica.
Cómo funciona
P(X = k) = (1 − p)^(k − 1) · p · P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^k · E[X] = 1 ÷ p · Var(X) = (1 − p) ÷ p²
La distribución geométrica cuenta cuántos ensayos de Bernoulli independientes se necesitan hasta obtener el primer éxito. Para que el primer éxito caiga en el ensayo k, los k − 1 anteriores tienen que fallar (cada uno con probabilidad 1 − p) y el ensayo k tiene que salir bien. Su propiedad de falta de memoria significa que los fracasos pasados no cambian la probabilidad del siguiente intento: no «le toca» salir al éxito.
Ejemplo resuelto
Luis encesta 1 de cada 5 tiros de tres puntos, así que p = 0.2. ¿Qué probabilidad hay de que su primera canasta llegue justo en el tercer tiro? Necesita fallar dos y acertar uno: 0.8 × 0.8 × 0.2 = 0.128, es decir, 12.8%. La probabilidad de encestar a más tardar en el tercer tiro es 1 − 0.8³ = 0.488 (48.8%), y en promedio necesita 1 ÷ 0.2 = 5 tiros, con una varianza de 0.8 ÷ 0.04 = 20.
Preguntas frecuentes
¿Y si quiero contar los fracasos antes del primer éxito?
Esa versión está desplazada en uno: P(Y = k) = (1 − p)^k · p, con media (1 − p) ÷ p. Para usarla aquí, escribe k + 1 como número de ensayo.
¿En qué se diferencia de la distribución binomial?
La binomial fija el número de ensayos y cuenta cuántos éxitos hay; la geométrica fija un solo éxito y cuenta cuántos ensayos hacen falta para lograrlo.
¿Qué significa que la distribución geométrica no tiene memoria?
Que la probabilidad de esperar k ensayos más es la misma sin importar cuántos fracasos ya llevas. Si llevas 10 tiros fallados con p = 0.2, tu próximo tiro sigue teniendo 20% de probabilidad de entrar.
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Con fines educativos: revisa los supuestos (tamaño de muestra, distribución) antes de usar estadísticas en decisiones reales.