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Calculadora de distribución binomial: probabilidad de exactamente, a lo más y al menos k éxitos

Calcula probabilidades binomiales de exactamente k, a lo más k y al menos k éxitos en n ensayos independientes, junto con la media y la desviación estándar.

Número de ensayos (n)

Número de éxitos (k)

Probabilidad de éxito (p)

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Cómo funciona

P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ · P(X ≤ k) = suma de P(X = j) para j = 0…k · media = np · σ = √[np(1 − p)]

La distribución binomial da la probabilidad de obtener exactamente k éxitos en n ensayos independientes, cada uno con la misma probabilidad de éxito p. El coeficiente binomial C(n, k) cuenta de cuántas formas se pueden acomodar esos éxitos, y las dos potencias dan la probabilidad de cada acomodo. La calculadora obtiene el coeficiente con funciones log-gamma para que siga siendo precisa con n grandes, y suma la función de probabilidad para darte las probabilidades acumuladas de «a lo más» y «al menos».

Ejemplo resuelto

Luis contesta al azar un examen de 10 preguntas de opción múltiple con 4 opciones cada una (n = 10, p = 0.25). La probabilidad de acertar exactamente 3 es C(10, 3) · 0.25³ · 0.75⁷ = 120 · 0.015625 · 0.1335 ≈ 0.2503, es decir, 25.03%. Sumando de 0 a 3 aciertos, P(a lo más 3) ≈ 77.59%, y P(al menos 3) ≈ 47.44%. En promedio acertaría np = 2.5 preguntas, con una desviación estándar de √1.875 ≈ 1.3693.

Fuentes: Binomial distribution — Wikipedia

Preguntas frecuentes

¿Cuándo se usa la distribución binomial?

Cuando hay un número fijo de ensayos independientes, cada uno con solo dos resultados posibles (éxito o fracaso) y la misma probabilidad de éxito p. Lanzar una moneda, aprobar o reprobar, o respuestas de sí o no en una encuesta encajan; si la probabilidad cambia de un ensayo a otro, no aplica.

¿Qué diferencia hay entre «a lo más k» y «al menos k»?

P(a lo más k) es la probabilidad acumulada de k éxitos o menos: la suma desde 0 hasta k. P(al menos k) es la de k o más, desde k hasta n. Junto con P(exactamente k) cubren las tres preguntas más comunes sobre una binomial.

¿Cómo se calculan la media y la desviación estándar?

La media de éxitos es np y la varianza np(1 − p), así que la desviación estándar es √[np(1 − p)]. Con 10 lanzamientos de una moneda justa, la media es 5 y la desviación estándar unos 1.58.

¿Cuándo se puede aproximar la binomial con la normal?

Una regla práctica es que np y n(1 − p) sean ambos al menos 5 (algunos textos piden 10). Entonces la binomial se parece a una normal con media np y desviación √[np(1 − p)].

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Con fines educativos: antes de usar estos resultados en una tesis, un informe o una decisión real, verifica los supuestos (tamaño de muestra, forma de la distribución, muestreo aleatorio).