Calculadora de distribución normal: probabilidad, valor z y densidad
Calcula la probabilidad de que un valor con distribución normal quede por debajo o por encima de un punto, con su valor z y la densidad de probabilidad.
Cómo funciona
z = (x − μ) ÷ σ · f(x) = 1 ÷ (σ√(2π)) · e^(−z²/2) · P(X < x) = Φ(z) = ½[1 + erf(z ÷ √2)]
La distribución normal es la conocida campana de Gauss, simétrica y definida por su media μ y su desviación estándar σ. Al tipificar un valor (pasarlo a valor z) sabes a cuántas desviaciones estándar está de la media, y la función de distribución acumulada Φ(z) da el área bajo la curva a su izquierda, es decir, la probabilidad de obtener un valor menor. Es lo mismo que buscarías en la tabla de la normal estándar, pero sin tabla: la calculadora usa la aproximación de Abramowitz y Stegun para la función de error, con unos siete decimales de precisión, y además muestra la densidad f(x) en ese punto.
Ejemplo resuelto
Los puntajes de un examen de admisión siguen una distribución normal con media 100 y desviación estándar 15. Sofía obtuvo 120, así que z = (120 − 100) ÷ 15 ≈ 1.3333. El área a la izquierda es Φ(1.3333) ≈ 0.9088: P(X < 120) ≈ 90.88% y P(X > 120) ≈ 9.12%. En otras palabras, superó a cerca del 91% de los aspirantes.
Fuentes: Normal distribution — Wikipedia
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre densidad y probabilidad?
La densidad f(x) es la altura de la campana en un punto, no una probabilidad: en una distribución continua, la probabilidad de un valor exacto es cero. Las probabilidades salen de áreas bajo la curva, como P(X < x), por eso la calculadora muestra tanto la altura como el área acumulada.
¿Cómo se calcula P(X > x)?
Como el área total bajo la curva es 1, la probabilidad por encima de un punto es 1 menos la probabilidad por debajo: P(X > x) = 1 − Φ(z). Las dos siempre suman 100%.
¿Qué dice la regla empírica 68-95-99.7?
En una distribución normal, cerca del 68% de los valores cae a menos de una desviación estándar de la media, el 95% a menos de dos y el 99.7% a menos de tres. Sirve para revisar rápido: un valor z más allá de ±3 es raro bajo un modelo normal.
¿Cómo calculo la probabilidad entre dos valores?
Calcula P(X < x) para cada valor y réstalas. Por ejemplo, con media 100 y desviación 15, P(X < 120) ≈ 90.88% y P(X < 80) ≈ 9.12%, así que P(80 < X < 120) ≈ 81.76%.
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Con fines educativos: antes de usar estos resultados en una tesis, un informe o una decisión real, verifica los supuestos (tamaño de muestra, forma de la distribución, muestreo aleatorio).