Calculadora de distribución hipergeométrica: probabilidad sin reemplazo
Calcula la probabilidad de obtener exactamente k éxitos al extraer n elementos sin reemplazo de una población de N con K éxitos, además de la media y la varianza.
Cómo funciona
P(X = k) = C(K, k) · C(N − K, n − k) ÷ C(N, n) · Media = n · K ÷ N
Cuando extraes elementos sin reemplazo, cada extracción cambia las probabilidades de la siguiente, así que la fórmula binomial ya no sirve. La distribución hipergeométrica cuenta de cuántas formas puedes elegir k éxitos entre los K disponibles y n − k fracasos entre los N − K restantes, y lo divide entre todas las formas de elegir n elementos de N. La calculadora usa logaritmos de factoriales para que el cálculo sea estable incluso con poblaciones grandes.
Ejemplo resuelto
Sofía reparte 5 cartas de una baraja inglesa de 52, que tiene 13 corazones. ¿Qué probabilidad hay de recibir exactamente 2 corazones? C(13, 2) · C(39, 3) ÷ C(52, 5) = 78 × 9,139 ÷ 2,598,960 = 0.27428, o sea, 27.43%. La probabilidad de recibir al menos 2 corazones es 36.70%, y en promedio saldrían 5 × 13 ÷ 52 = 1.25 corazones por mano.
Preguntas frecuentes
¿Cuándo puedo usar la binomial en lugar de la hipergeométrica?
Cuando n es menor que aproximadamente el 5% de N: en ese caso el reemplazo casi no importa y la binomial con p = K ÷ N es una buena aproximación.
¿Para qué se usa la distribución hipergeométrica?
Para probabilidades de cartas y loterías, muestreo de control de calidad en un lote de producción, estudios ecológicos de captura y recaptura, y la prueba exacta de Fisher.
¿Qué diferencia hay entre extraer con y sin reemplazo?
Con reemplazo, cada elemento se devuelve antes de la siguiente extracción y la probabilidad de éxito no cambia (binomial). Sin reemplazo, la población se va reduciendo y las probabilidades cambian en cada extracción (hipergeométrica).
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Con fines educativos: revisa los supuestos (tamaño de muestra, distribución) antes de usar estadísticas en decisiones reales.