Calculadora de fracciones continuas: desarrolla un decimal y halla sus convergentes
Convierte un número decimal en fracción continua [a₀; a₁, a₂, …] y obtén la mejor fracción aproximada, su valor decimal y el error de la aproximación.
Cómo funciona
x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + …)), con aₙ = parte entera de xₙ y xₙ₊₁ = 1/(xₙ − aₙ) · convergentes hₙ/kₙ con hₙ = aₙ·hₙ₋₁ + hₙ₋₂ y kₙ = aₙ·kₙ₋₁ + kₙ₋₂
Una fracción continua escribe un número como su parte entera más uno entre otra fracción continua. En cada paso se separa la parte entera y se invierte lo que sobra, y la lista de coeficientes [a₀; a₁, a₂, …] funciona como la huella digital del número. Si cortas el desarrollo en algún punto obtienes un convergente: la mejor aproximación racional posible para un denominador de ese tamaño. Así salen las famosas aproximaciones de π 22/7 y 355/113.
Ejemplo resuelto
Toma 3.14159265 y pide 4 términos. La parte entera es 3; al invertir 0.14159265 sale 7.0625…, luego 15.99… y después 1.00…, así que la fracción continua es [3; 7, 15, 1]. Si te quedas en [3; 7] obtienes 3 + 1/7 = 22/7 ≈ 3.142857; con los 4 términos llegas a 355/113 = 3.14159292, que solo se aleja 0.00000027 del valor original.
Fuentes: Continued fraction — Wikipedia
Preguntas frecuentes
¿Qué es un convergente de una fracción continua?
Es la fracción que resulta al cortar la fracción continua después de algunos términos. Cada convergente es la aproximación racional más cercana al número entre todas las fracciones con ese denominador o uno menor.
¿Por qué el resultado es aproximado?
Porque el decimal se desarrolla solo hasta el número de términos que pidas, y para números irracionales como π ninguna fracción finita es exacta. El error de aproximación te dice qué tan cerca quedó la última fracción.
¿Cómo se lee la notación [a₀; a₁, a₂, …]?
a₀ es la parte entera y cada término que sigue es un denominador de la fracción anidada. Por ejemplo, [3; 7] significa 3 + 1/7 = 22/7, y [1; 2] significa 1 + 1/2 = 3/2.
¿Un número racional tiene una fracción continua finita?
Sí. Todo número racional tiene un desarrollo que termina, porque es el mismo proceso que el algoritmo de Euclides para el MCD. En cambio, los irracionales tienen fracciones continuas infinitas, como √2 = [1; 2, 2, 2, …].
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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.