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Ruina del jugador: probabilidad de llegar a tu meta antes de quedarte sin nada

Calcula la probabilidad de alcanzar tu meta antes de arruinarte en el problema de la ruina del jugador, según tu capital inicial y tu probabilidad de ganar cada apuesta.

Capital inicial (unidades)

Capital meta (unidades)

Probabilidad de ganar cada apuesta

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Cómo funciona

Juego justo (p = ½): P(ganar) = i ÷ N · Juego sesgado: con r = q ÷ p, P(ganar) = (1 − rⁱ) ÷ (1 − rᴺ) · i = capital inicial, N = meta, q = 1 − p

La ruina del jugador describe una caminata aleatoria entre 0 (sin dinero) y N (la meta): cada apuesta te sube una unidad con probabilidad p o te baja una con probabilidad q = 1 − p, y el juego termina al tocar cualquiera de los dos extremos. En un juego justo, la probabilidad de llegar a la meta es simplemente la fracción del camino que ya llevas, i ÷ N. Pero basta una pequeña ventaja de la casa (p apenas por debajo de ½) para que esa probabilidad caiga en picada a medida que la meta crece; por eso apostar de forma sostenida con una desventaja, aunque sea mínima, casi siempre termina en la ruina.

Ejemplo resuelto

Jorge empieza con 10 fichas y quiere llegar a 20 lanzando una moneda justa (p = 0.5): P(llegar a 20) = 10 ÷ 20 = 50.00%. Si la probabilidad baja a p = 0.49, entonces r = 0.51 ÷ 0.49 ≈ 1.0408 y P(ganar) = (1 − 1.0408¹⁰) ÷ (1 − 1.0408²⁰) = (1 − 1.4919) ÷ (1 − 2.2258) ≈ 40.13%. Un solo punto de desventaja le quita casi 10 puntos de probabilidad.

Fuentes: Gambler's ruin — Wikipedia

Preguntas frecuentes

¿Por qué importa tanto una ventaja de la casa tan pequeña?

Porque la desventaja se acumula apuesta tras apuesta. En la fórmula, la razón r = q ÷ p se eleva a la potencia del capital y de la meta, así que con p = 0.49 en lugar de 0.50 la probabilidad de ganar cae con fuerza, y empeora cuanto más alta es la meta.

¿Qué es la referencia de juego justo?

Es la probabilidad de llegar a la meta si cada apuesta fuera exactamente pareja (p = 0.5), que equivale al capital inicial dividido entre la meta. Compararla con tu resultado real muestra cuánto te ayuda o te perjudica la ventaja.

¿Se supone que apuesto una unidad cada vez?

Sí. Es la caminata aleatoria clásica con apuestas de una unidad y la misma probabilidad de ganar en cada ronda. Los montos variables, como la martingala, siguen otra dinámica y esta fórmula no los cubre.

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Modelo educativo de una caminata aleatoria, no una recomendación de apuestas. Si juegas de forma sostenida con una desventaja, a la larga terminarás perdiendo.