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Calculadora de límites de funciones racionales por aproximación

Estima el límite de una función racional cuando x tiende a un valor, evaluándola por la izquierda y por la derecha. Ideal para indeterminaciones 0/0.

Numerador: coeficiente de x²

Numerador: coeficiente de x

Numerador: término independiente

Denominador: coeficiente de x²

Denominador: coeficiente de x

Denominador: término independiente

x tiende a a

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Cómo funciona

lím(x→a) f(x), estimado con f(a − h) y f(a + h), h = 0.00001 · El límite existe solo si ambos límites laterales coinciden

Muchos límites interesantes dan la indeterminación 0/0 cuando sustituyes el punto directamente. Si en lugar de eso evalúas la función un poquito a la izquierda y un poquito a la derecha, ves a qué valor se está acercando sin tocar el punto donde no está definida. Esta calculadora trabaja con funciones racionales de hasta segundo grado, (n₂x² + n₁x + n₀) ÷ (d₂x² + d₁x + d₀). Si los dos límites laterales no coinciden, el límite no existe: hay un salto o una asíntota.

Ejemplo resuelto

Para (x² − 1) ÷ (x − 1) cuando x → 1, sustituir da 0/0. Evaluando en 0.99999 y en 1.00001 se obtiene alrededor de 1.99999 y 2.00001, así que el límite es 2. Coincide con el álgebra: al factorizar, (x + 1)(x − 1) ÷ (x − 1) = x + 1, que en x = 1 vale 2. Con x → 2 la misma función tiende a 3.

Fuentes: Limit of a function — Wikipedia

Preguntas frecuentes

¿Por qué no puedo sustituir el valor directamente?

En una discontinuidad evitable la función no está definida en el punto (da 0/0), así que la sustitución falla. El límite pregunta a qué valor se acerca la función alrededor del punto, que es justo lo que muestra evaluar ambos lados.

¿Qué significa que el límite «no existe»?

Que los límites por la izquierda y por la derecha difieren más de una pequeña tolerancia: la función se acerca a valores distintos por cada lado, por un salto o una asíntota vertical, y no hay un único límite.

¿La estimación numérica es exacta?

Es una aproximación con varias cifras decimales correctas en funciones con buen comportamiento. Cerca de una asíntota o de un punto con oscilaciones fuertes los números pueden engañar, así que confirma los resultados sorprendentes con álgebra.

¿Cómo se resuelve un límite con indeterminación 0/0?

Lo habitual es factorizar numerador y denominador y cancelar el factor común. Por ejemplo, (x² − 4) ÷ (x − 2) = x + 2, así que el límite cuando x → 2 es 4.

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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.