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Calculadora de media aritmético-geométrica: la MAG de Gauss paso a paso

Calcula la media aritmético-geométrica (MAG) de dos números positivos: primera media aritmética y geométrica, valor límite y cuántas iteraciones tarda en converger.

Primer número (a)

Segundo número (b)

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Cómo funciona

Repite aₙ₊₁ = (aₙ + bₙ) ÷ 2 y bₙ₊₁ = √(aₙ × bₙ) · ambas sucesiones convergen a la MAG · MG ≤ MAG ≤ MA

La media aritmético-geométrica, que Gauss estudió a fondo, se obtiene cambiando una y otra vez un par de números por su media aritmética y su media geométrica. Las dos sucesiones se van acercando hasta coincidir en un mismo límite, y lo hacen rapidísimo: en cada paso se duplica, más o menos, la cantidad de cifras correctas. Por eso la MAG está detrás de los algoritmos que calculan π con millones de decimales y de la evaluación de integrales elípticas. El resultado siempre cae entre la media geométrica y la media aritmética de los números originales.

Ejemplo resuelto

Empieza con 24 y 6. En el primer paso, la media aritmética es (24 + 6) ÷ 2 = 15 y la geométrica es √(24 × 6) = √144 = 12. Con 15 y 12 sale 13.5 y √180 ≈ 13.4164; en el siguiente paso las dos quedan en 13.4582… Tras 5 iteraciones coinciden a 8 decimales: la MAG de 24 y 6 es 13.45817148, justo entre 12 y 15.

Fuentes: Arithmetic–geometric mean — Wikipedia

Preguntas frecuentes

¿Qué es la media aritmético-geométrica?

Es el límite común al que llegas si alternas la media aritmética (a + b) ÷ 2 y la media geométrica √(a × b) de un par de números. Como la media aritmética nunca es menor que la geométrica, las dos sucesiones se encierran y convergen a un solo valor.

¿Por qué converge tan rápido?

Porque cada iteración eleva al cuadrado, aproximadamente, la distancia relativa entre los dos números, así que las cifras correctas se duplican en cada paso. Con dos números positivos, en cuatro o cinco iteraciones ya coinciden con toda la precisión de la computadora.

¿Para qué sirve la MAG?

Permite evaluar integrales elípticas completas de forma muy eficiente, lo que sirve, por ejemplo, para calcular el periodo exacto de un péndulo. También es la base del algoritmo de Gauss-Legendre, con el que se han calculado millones de decimales de π.

¿Se puede calcular con números negativos o con cero?

No. La media geométrica necesita que el producto sea positivo, así que los dos números deben ser mayores que cero. Si uno de ellos es 0, la media geométrica vale 0 y la MAG también.

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