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Calculadora del ortocentro de un triángulo

Calcula el ortocentro de un triángulo a partir de las coordenadas de sus tres vértices: el punto donde se cortan las alturas, la ecuación y longitud de cada altura y si queda dentro o fuera.

A: x

A: y

B: x

B: y

C: x

C: y

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Cómo funciona

H es la intersección de las alturas: (H − A)·(C − B) = 0 y (H − B)·(C − A) = 0, resueltas como un sistema lineal 2 × 2 · altura desde A: recta por A perpendicular a BC (pendiente −1/m_BC) · longitud h_A = 2·Área / |BC| · recta de Euler: H = 3G − 2O

Una altura es el segmento que va de un vértice al lado opuesto de forma perpendicular, y las tres alturas de cualquier triángulo se cortan en un mismo punto, el ortocentro. La calculadora escribe dos de las condiciones de perpendicularidad como productos punto, las resuelve de forma exacta con fracciones y da las tres rectas de las alturas para que compruebes que todas pasan por H. El ortocentro queda dentro de un triángulo acutángulo, en el vértice del ángulo recto de un triángulo rectángulo y fuera de un triángulo obtusángulo. También está en la recta de Euler junto con el baricentro G y el circuncentro O, con H = 3G − 2O (Wolfram MathWorld, Orthocenter).

Ejemplo resuelto

A(0, 0), B(6, 0), C(2, 4). AB es horizontal, así que la altura desde C es la recta vertical x = 2. BC tiene pendiente (4 − 0)/(2 − 6) = −1, así que la altura desde A tiene pendiente 1: y = x. Se cortan en H = (2, 2), y la altura desde B, y = −(1/2)x + 3, también pasa por (2, 2). Todos los ángulos son agudos, así que H está dentro del triángulo. Baricentro G = (8/3, 4/3) y circuncentro O = (3, 1).

Fuentes: Wolfram MathWorld — Orthocenter · Khan Academy — Altitudes and the orthocenter

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula el ortocentro de un triángulo?

Calcula las pendientes de dos lados, toma sus inversas negativas para obtener las pendientes de las alturas que pasan por los vértices opuestos, escribe las dos ecuaciones en forma punto-pendiente y resuelve el sistema.

¿Dónde está el ortocentro de un triángulo rectángulo?

Justo en el vértice del ángulo recto, porque cada cateto ya es la altura correspondiente al otro.

¿El ortocentro puede quedar fuera del triángulo?

Sí. En un triángulo obtusángulo las alturas desde los dos vértices agudos caen fuera, y se cortan fuera del triángulo, más allá del ángulo obtuso.

¿Qué diferencia hay entre ortocentro, baricentro, circuncentro e incentro?

Ortocentro: se cortan las alturas. Baricentro: las medianas. Circuncentro: las mediatrices. Incentro: las bisectrices. Solo en un triángulo equilátero los cuatro coinciden.

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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.