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Parábola por tres puntos: encuentra y = ax² + bx + c

Encuentra la ecuación de la parábola y = ax² + bx + c que pasa exactamente por tres puntos, con los coeficientes a, b y c, y predice el valor de y para cualquier x.

Punto 1: x

Punto 1: y

Punto 2: x

Punto 2: y

Punto 3: x

Punto 3: y

Predecir y en x =

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Cómo funciona

Resuelve y = a·x² + b·x + c para que se cumplan los tres puntos · a, b y c salen de las diferencias divididas de los datos

Así como dos puntos definen una sola recta, tres puntos con x distintas definen una sola parábola. La calculadora plantea el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas (a, b y c) y lo resuelve directamente con diferencias divididas, así que no hay error de ajuste: la curva pasa exactamente por los tres puntos. Por eso, más que una regresión cuadrática por mínimos cuadrados, es la interpolación cuadrática exacta de tus datos.

Ejemplo resuelto

Encuentra la parábola que pasa por (0, 1), (1, 6) y (2, 9). Con x = 0 sale c = 1. Luego a + b = 5 y 4a + 2b = 8, es decir, 2a + b = 4; restando, a = −1 y b = 6. La parábola es y = −x² + 6x + 1 y en x = 3 vale −9 + 18 + 1 = 10, que es su vértice.

Fuentes: Polynomial regression — Wikipedia

Preguntas frecuentes

¿Cómo se encuentra la ecuación de una parábola con tres puntos?

Sustituye cada punto en y = ax² + bx + c para obtener tres ecuaciones con a, b y c, y resuelve el sistema por sustitución, eliminación o determinantes. Si uno de los puntos tiene x = 0, su y es directamente c.

¿Es una regresión por mínimos cuadrados?

No. Con exactamente tres puntos la parábola pasa por todos, así que es una interpolación exacta con residuo cero. La regresión cuadrática por mínimos cuadrados se usa con muchos puntos y minimiza el error total, sin pasar necesariamente por ninguno.

¿Por qué los valores de x deben ser distintos?

Dos puntos con la misma x le pedirían a una función dos valores de y diferentes para la misma entrada, lo cual es imposible. Con x distintas el sistema tiene solución y la parábola es única.

¿Qué pasa si los tres puntos están alineados?

Entonces el coeficiente a sale 0 y la parábola se reduce a la recta que los une. La calculadora lo maneja sin problema y muestra a ≈ 0.

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Esta calculadora tiene fines informativos. Verifica los resultados importantes antes de tomar decisiones.